Chủ đề này có 7 trả lời

[yeutoanmaimai1]

1, cho a,b,c>0. cm $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2$

2, cho a,b,c,d>0.cm $\frac{d}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}\geq 2$

3,cho a,b,c,d>0 và $\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\leq 1$ cm $abcd\leq \frac{1}{81}$

4,cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác,cm $\sqrt{2}(a+b+c)\leq \sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}< \sqrt{3}(a+b+c)$

[huy2403exo]

 

2, cho a,b,c,d>0.cm $\frac{d}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}\geq 2$

 

Áp dụng bất đẳng thức $\frac{1}{xy}\geq \frac{4}{(x+y)^2}$

$\frac{a}{b+c}+\frac{c}{a+d}= \frac{a(a+d)+c(b+c)}{(b+c)(a+d)}\geq 4\frac{a^2+c^2+ad+bc}{(a+b+c+d)^2}$

Tương tự $\frac{b}{c+d}+\frac{d}{a+b}\geq 4\frac{b^2+d^2+ab+cd}{(a+b+c+d)^2}$

$\Rightarrow VT\geq \frac{a^2+b^2+c^2+d^2+ab+bc+cd+ad}{(a+b+c+d)^2}\geq 2$

$\Leftrightarrow (a-c)^2+(b-d)^2\geq 0$ ( luôn đúng )

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=d$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huy2403exo: 13-01-2015 - 21:23

[Viet Hoang 99]

1, cho a,b,c>0. cm $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2$

2, cho a,b,c,d>0.cm $\frac{d}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}\geq 2$

3,cho a,b,c,d>0 và $\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\leq 1$ cm $abcd\leq \frac{1}{81}$

4,cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác,cm $\sqrt{2}(a+b+c)\leq \sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}< \sqrt{3}(a+b+c)$

1) $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}=\sum \frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}\ge \sum \frac{2a}{a+b+c}=2$

Dấu "=" không xảy ra.

 

3) $\frac{1}{d+1}=1-\frac{d}{d+1}=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$

$\Rightarrow \frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)}\ge 3^4.\frac{abcd}{(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)}$

$\Rightarrow abcd\le \frac{1}{81}$

[yeutoanmaimai1]

 

1) $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}=\sum \frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}\ge \sum \frac{2a}{a+b+c}=2$

Dấu "=" không xảy ra.

 

 

em chưa học đến cái này,em chỉ mới học lớp 9 thôi

[yeutoanmaimai1]

 

$\Rightarrow \frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)}\ge 3^4.\frac{abcd}{(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)}$

$\Rightarrow abcd\le \frac{1}{81}$

 

từ cái j anh => cái này v? anh làm cẩn thận cho em được không

[rainbow99]

2, cho a,b,c,d>0.cm $\frac{d}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}\geq 2$

 

Cái này là bất dẳng thức Nesbitt 4 biến

 

Đặt:

S=$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}$

M=$\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}+\frac{a}{a+b}$

N=$\frac{c}{b+c}+\frac{d}{c+d}+\frac{a}{d+a}+\frac{b}{a+b}$

Ta có: M+N=4. Theo bất đẳng thức AM-GM thì

M+S=$\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+d}+\frac{c+d}{d+a}+\frac{d+a}{a+b}\geq4$

N+S=$\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+d}{c+d}+\frac{a+c}{d+a}+\frac{b+d}{a+b}$

      $\geq\frac{4(a+c)}{a+b+c+d}+\frac{4(b+d)}{a+b+c+d}$

Vậy M+N+2S$\geq$8 suy ra S$\geq2$

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=d

[Viet Hoang 99]

em chưa học đến cái này,em chỉ mới học lớp 9 thôi

Đừng nhìn vào ký hiệu $\sum $ và thêm vào dưới là chữ "Tương tự ..." là sẽ hiểu (áp dụng bđt AM-GM (Cauchy))

 

từ cái j anh => cái này v? anh làm cẩn thận cho em được không

Chứng minh tương tự rồi nhân theo vế.

 

 

4,cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác,cm $\sqrt{2}(a+b+c)\leq \sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}< \sqrt{3}(a+b+c)$

4)

$2(a+b+c)=(a+b)+(b+c)+(c+a)\le \sqrt{2(a^2+b^2)}+\sqrt{2(b^2+c^2)}+\sqrt{2(c^2+a^2)}$

$\Rightarrow $ đpcm.

[Hoang Long Le]

 

4,cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác,cm $\sqrt{2}(a+b+c)\leq \sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}< \sqrt{3}(a+b+c)$

 

Í (1): Áp dụng BĐT Bunyakovsky: $\sqrt{(1^2+1^2)(a^2+b^2)}\geq a+b$

Tương tự với 2 cái còn lại. Cộng lại ta được $\sqrt{2(a^2+b^2)}+\sqrt{2(b^2+c^2)}+\sqrt{2(a^2+c^2)}\geq 2(a+b+c)\rightarrow \sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{a^2+c^)}\geq \sqrt{2}(a+b+c)$

Í (2): Bình phương hai vế: $2(a^2+b^2+c^2)+2\sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}+2\sqrt{(b^2+c^2)(c^2+a^2)}+2\sqrt{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}< 3(a^2+b^2+c^2)+6(ab+bc+ac) $

$\rightarrow 2\sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}+2\sqrt{(b^2+c^2)(c^2+a^2)}+2\sqrt{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}<a^2+b^2+c^2+6(ab+bc+ca)$

Áp dụng AM-GM: $2\sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)} \leq a^2+2b^2+c^2$

Tương tự cộng lại: $2\sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}+2\sqrt{(b^2+c^2)(c^2+a^2)}+2\sqrt{(a^2+b^2)(a^2+c^2)} \leq 4(a^2+b^2+c^2)$

Cần c/m $4(a^2+b^2+c^2) < a^2+b^2+c^2+6(ab+bc+ca)$ hay $a^2+b^2+c^2<2ab+2ac+2bc$ ( bất đẳng thức quá quen thuộc trong tam giác )

Vậy có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Long Le: 13-01-2015 - 22:38