Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * - - - 1 Bình chọn

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 yeutoanmaimai1

yeutoanmaimai1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 295 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nơi không có sự sống
  • Sở thích:hình học phẳng

Đã gửi 13-01-2015 - 21:14

1, cho a,b,c>0. cm $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2$

2, cho a,b,c,d>0.cm $\frac{d}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}\geq 2$

3,cho a,b,c,d>0 và $\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\leq 1$ cm $abcd\leq \frac{1}{81}$

4,cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác,cm $\sqrt{2}(a+b+c)\leq \sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}< \sqrt{3}(a+b+c)$



#2 huy2403exo

huy2403exo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 216 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Trần Phú

Đã gửi 13-01-2015 - 21:22

 

2, cho a,b,c,d>0.cm $\frac{d}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}\geq 2$

 

Áp dụng bất đẳng thức $\frac{1}{xy}\geq \frac{4}{(x+y)^2}$

$\frac{a}{b+c}+\frac{c}{a+d}= \frac{a(a+d)+c(b+c)}{(b+c)(a+d)}\geq 4\frac{a^2+c^2+ad+bc}{(a+b+c+d)^2}$

Tương tự $\frac{b}{c+d}+\frac{d}{a+b}\geq 4\frac{b^2+d^2+ab+cd}{(a+b+c+d)^2}$

$\Rightarrow VT\geq \frac{a^2+b^2+c^2+d^2+ab+bc+cd+ad}{(a+b+c+d)^2}\geq 2$

$\Leftrightarrow (a-c)^2+(b-d)^2\geq 0$ ( luôn đúng )

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=d$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huy2403exo: 13-01-2015 - 21:23

Thành công là khả năng đi từ thất bại này đến thất bại khác mà không mất đi nhiệt huyết

Nhiều người ước mơ được thành công. Thành công chỉ có thể đạt được qua thất bại và sự nội quan liên tục. Thật ra, thành công thể hiện 1% công việc ta làm – kết quả có được từ 99% cái gọi là thất bại.

 

 

Điều bạn gặt hái được bằng việc đạt được mục tiêu không quan trọng bằng con người bạn trở thành khi đạt được mục tiêu.

  •  

 


#3 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Thành viên
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:Make more money

Đã gửi 13-01-2015 - 21:37

1, cho a,b,c>0. cm $\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2$

2, cho a,b,c,d>0.cm $\frac{d}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}\geq 2$

3,cho a,b,c,d>0 và $\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\leq 1$ cm $abcd\leq \frac{1}{81}$

4,cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác,cm $\sqrt{2}(a+b+c)\leq \sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}< \sqrt{3}(a+b+c)$

1) $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}=\sum \frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}\ge \sum \frac{2a}{a+b+c}=2$

Dấu "=" không xảy ra.

 

3) $\frac{1}{d+1}=1-\frac{d}{d+1}=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$

$\Rightarrow \frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)}\ge 3^4.\frac{abcd}{(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)}$
$\Rightarrow abcd\le \frac{1}{81}$


#4 yeutoanmaimai1

yeutoanmaimai1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 295 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nơi không có sự sống
  • Sở thích:hình học phẳng

Đã gửi 13-01-2015 - 21:41

 

1) $\sum \sqrt{\frac{a}{b+c}}=\sum \frac{a}{\sqrt{a(b+c)}}\ge \sum \frac{2a}{a+b+c}=2$

Dấu "=" không xảy ra.

 

 

em chưa học đến cái này,em chỉ mới học lớp 9 thôi



#5 yeutoanmaimai1

yeutoanmaimai1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 295 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nơi không có sự sống
  • Sở thích:hình học phẳng

Đã gửi 13-01-2015 - 21:46

 

$\Rightarrow \frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)}\ge 3^4.\frac{abcd}{(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)}$
$\Rightarrow abcd\le \frac{1}{81}$

 

từ cái j anh => cái này v? anh làm cẩn thận cho em được không



#6 rainbow99

rainbow99

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 386 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Động trai nhiều nhất VBB
  • Sở thích:Sắn

Đã gửi 13-01-2015 - 22:08

2, cho a,b,c,d>0.cm $\frac{d}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}\geq 2$

 

Cái này là bất dẳng thức Nesbitt 4 biến

 

Đặt:

S=$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}$

M=$\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+d}+\frac{d}{d+a}+\frac{a}{a+b}$

N=$\frac{c}{b+c}+\frac{d}{c+d}+\frac{a}{d+a}+\frac{b}{a+b}$
Ta có: M+N=4. Theo bất đẳng thức AM-GM thì
M+S=$\frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{c+d}+\frac{c+d}{d+a}+\frac{d+a}{a+b}\geq4$
N+S=$\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+d}{c+d}+\frac{a+c}{d+a}+\frac{b+d}{a+b}$
      $\geq\frac{4(a+c)}{a+b+c+d}+\frac{4(b+d)}{a+b+c+d}$
Vậy M+N+2S$\geq$8 suy ra S$\geq2$
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=d


#7 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Thành viên
  • 2289 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:Make more money

Đã gửi 13-01-2015 - 22:19

em chưa học đến cái này,em chỉ mới học lớp 9 thôi

Đừng nhìn vào ký hiệu $\sum $ và thêm vào dưới là chữ "Tương tự ..." là sẽ hiểu (áp dụng bđt AM-GM (Cauchy))

 

từ cái j anh => cái này v? anh làm cẩn thận cho em được không

Chứng minh tương tự rồi nhân theo vế.

 

 

4,cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác,cm $\sqrt{2}(a+b+c)\leq \sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}< \sqrt{3}(a+b+c)$

4)

$2(a+b+c)=(a+b)+(b+c)+(c+a)\le \sqrt{2(a^2+b^2)}+\sqrt{2(b^2+c^2)}+\sqrt{2(c^2+a^2)}$

$\Rightarrow $ đpcm.



#8 Hoang Long Le

Hoang Long Le

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 265 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-01-2015 - 22:36

 

4,cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác,cm $\sqrt{2}(a+b+c)\leq \sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}}< \sqrt{3}(a+b+c)$

 

Í (1): Áp dụng BĐT Bunyakovsky: $\sqrt{(1^2+1^2)(a^2+b^2)}\geq a+b$

Tương tự với 2 cái còn lại. Cộng lại ta được $\sqrt{2(a^2+b^2)}+\sqrt{2(b^2+c^2)}+\sqrt{2(a^2+c^2)}\geq 2(a+b+c)\rightarrow \sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{a^2+c^)}\geq \sqrt{2}(a+b+c)$

Í (2): Bình phương hai vế: $2(a^2+b^2+c^2)+2\sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}+2\sqrt{(b^2+c^2)(c^2+a^2)}+2\sqrt{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}< 3(a^2+b^2+c^2)+6(ab+bc+ac) $

$\rightarrow 2\sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}+2\sqrt{(b^2+c^2)(c^2+a^2)}+2\sqrt{(a^2+b^2)(a^2+c^2)}<a^2+b^2+c^2+6(ab+bc+ca)$

Áp dụng AM-GM: $2\sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)} \leq a^2+2b^2+c^2$

Tương tự cộng lại: $2\sqrt{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}+2\sqrt{(b^2+c^2)(c^2+a^2)}+2\sqrt{(a^2+b^2)(a^2+c^2)} \leq 4(a^2+b^2+c^2)$

Cần c/m $4(a^2+b^2+c^2) < a^2+b^2+c^2+6(ab+bc+ca)$ hay $a^2+b^2+c^2<2ab+2ac+2bc$ ( bất đẳng thức quá quen thuộc trong tam giác :D )

Vậy có đpcm :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Long Le: 13-01-2015 - 22:38

IM LẶNG




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh