Câu 2. Cho $A,B,C,D\in Mat(n\times n,\mathbb{C})$. Chứng minh rằng nếu ma trận $\begin{pmatrix} A & B\\ C & D \end{pmatrix}$ có hạng bằng $n$ thì $$\begin{vmatrix} \left |A \right | & \left |B \right |\\ \left |C \right | & \left |D \right | \end{vmatrix}=0$$
$\begin{pmatrix} A & B\\ C & D \end{pmatrix}$ có hạng bằng $n$ thì $\det (AD)=\det (BC)$
#1
Đã gửi 16-01-2015 - 07:57
Ma trận biểu diễn của ánh xạ $\varphi : V_E \rightarrow U_W$
$U---->V : [\varphi(e_i)]^T=[w_i]^TA$
$Av_S=\varphi(v)_T$
---------------------------------------------------------------------------------------------------
Ma trận chuyển cơ sử từ $S$ sang $T$.
$S---->T : (s_1,s_2,..,s_n).P=(t_1,t_2,...,t_n)$
$v_S=Pv_T$
---------------------------------------------------------------------------------------------------
https://web.facebook...73449309343792/
nhóm olp 2016
#2
Đã gửi 16-01-2015 - 17:52
Câu 2. Cho $A,B,C,D\in Mat(n\times n,\mathbb{C})$. Chứng minh rằng nếu ma trận $\begin{pmatrix} A & B\\ C & D \end{pmatrix}$ có hạng bằng $n$ thì $$\begin{vmatrix} \left |A \right | & \left |B \right |\\ \left |C \right | & \left |D \right | \end{vmatrix}=0$$
Nếu $|A| \neq 0$, tức $A^{-1}$ tồn tại thì
$$\begin{pmatrix}I &O \\-CA^{-1} &I\end{pmatrix} \begin{pmatrix}A &B \\C &D \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A &B \\0 &D-CA^{-1}B \end{pmatrix}$$
$$\Rightarrow rank \begin{pmatrix}A &B \\0 &D-CA^{-1}B \end{pmatrix}=rank \begin{pmatrix}A &B \\C &D \end{pmatrix}=n$$
Ta chứng minh bất đẳng thức:
$$rank \begin{pmatrix}M & T\\ O& N\end{pmatrix} \ge rank M+rank N \;\;, (M,N,T) \in \left(\mathbf{M}_{n}(\mathbb{C})\right)^3$$
Giả sử, $rank M=p, \; rank N=q $, khi đó $M$ có p cột độc lập tuyến tính là các $m_i , \;( i=1,...,p)$ và $N$ có $q$ cột độc lập tuyến tính là các $n_i, \; (i=1,...,q)$.
Ký hiệu $t_i, \; (i=1,...,q)$ là các cột tương ứng của $T$ nằm trên $n_i$ trong $\begin{pmatrix}M & T\\O & N\end{pmatrix}$
Xét tổ hợp tuyến tính $x_1\begin{pmatrix} m_1 \\ 0 \end{pmatrix}+...+x_p\begin{pmatrix} m_p \\ 0 \end{pmatrix}+y_1\begin{pmatrix} t_1 \\ n_1 \end{pmatrix}+...+y_q\begin{pmatrix} t_q \\ n_q \end{pmatrix}=0$
$$\Rightarrow \sum_{i=1}^p x_i m_i+\sum_{i=1}^q y_i t_i=0 \; \wedge\; \sum_{i=1}^q y_in_i=0$$
$$\Rightarrow \sum_{i=1}^p x_im_i=0 \; \wedge \; y_j=0 ,\; (j=1,...,q)$$
$$\Rightarrow x_i=0, (\;i=1,...,p) \;\;, y_j=0 ,\; (j=1,...,q)$$
Suy ra $p+q$ cột $\begin{pmatrix} m_1 \\ 0 \end{pmatrix},...,\begin{pmatrix} m_p \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} t_1 \\ n_1 \end{pmatrix},...,\begin{pmatrix} t_q \\ n_q \end{pmatrix}$ độc lập tuyến tính, do đó
$$rank \begin{pmatrix}M & T\\ O& N\end{pmatrix} \ge p+q=rank M+rank N$$
Bằng cách thay đổi vị trí các cột của $\begin{pmatrix}M & T\\ O& N\end{pmatrix}$ (không làm thay đổi hạng), ta cũng có
$$rank \begin{pmatrix}T & M\\ N& O\end{pmatrix} \ge rank M+rank N$$
Áp dụng:
$$rank \begin{pmatrix}A &B \\0 &D-CA^{-1}B \end{pmatrix} \ge rank A+rank (D-CA^{-1}B)$$
$$\Rightarrow rank (D-CA^{-1}B)=0 \Leftrightarrow D=CA^{-1}B$$
$$\Rightarrow |AD|=|BC|$$
Nếu $|A|=0$.
* Nếu $|B|=|C|=0$ thì hiển nhiên $|AD|=|BC|=0$
* Nếu,$|B| \neq 0$ hoặc $|C|\neq 0$, chẳng hạn $|B| \neq 0$, do đó $B^{-1}$ tồn tại.
$$\begin{pmatrix}I &0 \\-DB^{-1} &I \end{pmatrix} \begin{pmatrix}A &B \\C &D \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A &B \\C-DB^{-1}A &0 \end{pmatrix}$$
$$\Rightarrow rank \begin{pmatrix}A &B \\C-DB^{-1}A &0 \end{pmatrix}=rank \begin{pmatrix}A &B \\C &D \end{pmatrix}=n$$
Lại có: $$rank \begin{pmatrix}A &B \\C-DB^{-1}A &0 \end{pmatrix} \ge rank B+rank(C-DB^{-1}A)$$
$$\Rightarrow (C-DB^{-1}A)=0 \Leftrightarrow C=DB^{-1}A$$
$$\Rightarrow |BC|=|AD|$$
Vậy $\begin{vmatrix} \left |A \right | & \left |B \right |\\ \left |C \right | & \left |D \right | \end{vmatrix}=|AD|-|BC|=0$
- vo van duc và quangbinng thích
#3
Đã gửi 18-01-2015 - 19:26
Câu 2. Cho $A,B,C,D\in Mat(n\times n,\mathbb{C})$. Chứng minh rằng nếu ma trận $\begin{pmatrix} A & B\\ C & D \end{pmatrix}$ có hạng bằng $n$ thì $$\begin{vmatrix} \left |A \right | & \left |B \right |\\ \left |C \right | & \left |D \right | \end{vmatrix}=0$$
Trường hợp $rank A=n$
Các hàng của ma trận $\left ( C,D \right )$ là tổ hợp tuyến tính của các hàng của $\left ( A,B \right )$ nên $\left ( C,D \right )=Q\left ( A,B \right )\Rightarrow C=QA,D=QB\Rightarrow \left | C \right |=\left | Q \right |\left | A \right |,\left | D \right |=\left | Q \right |\left | B \right |$. Suy ra điều phải chứng minh (hai hàng tỷ lệ với nhau).
(hình như hai cách giải bản chất như nhau).
Trường hợp $rank A < n$ (như anh phudinhgioihan)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChangBietDatTenSaoChoDoc: 18-01-2015 - 19:28
- phudinhgioihan yêu thích
Success is getting what you want
Happiness is wanting what you get
$\LARGE { \wp \theta \eta \alpha \iota -\wp \mu \varsigma \kappa}$
#4
Đã gửi 19-01-2015 - 00:03
Trường hợp $rank A=n$
Các hàng của ma trận $\left ( C,D \right )$ là tổ hợp tuyến tính của các hàng của $\left ( A,B \right )$ nên $\left ( C,D \right )=Q\left ( A,B \right )\Rightarrow C=QA,D=QB\Rightarrow \left | C \right |=\left | Q \right |\left | A \right |,\left | D \right |=\left | Q \right |\left | B \right |$. Suy ra điều phải chứng minh (hai hàng tỷ lệ với nhau).
(hình như hai cách giải bản chất như nhau).
Trường hợp $rank A < n$ (như anh phudinhgioihan)
Nếu mà giải chi tiết ra thì vẫn còn khá dài, xin chốt lời giải ngắn nhất vậy (có lẽ )
Do $rank \begin{pmatrix} A& B\\ C&D \end{pmatrix}=n$ nên bằng các phép biến đổi sơ cấp, ta đưa được $\begin{pmatrix} A& B\\C &D \end{pmatrix}$ về dạng $\begin{pmatrix} I_n& O\\O &O \end{pmatrix}$,
do đó, tồn tại $P,Q \in \mathbf{M}_{2n}(\mathbb{C})$ khả nghịch sao cho $\begin{pmatrix}A &B \\C &D \end{pmatrix}=P \begin{pmatrix} I_n& O\\O &O \end{pmatrix}Q$
Phân tích $P=\begin{pmatrix}P_1 &P_2 \\ P_3& P_4\end{pmatrix} \;\;, Q=\begin{pmatrix}Q_1 &Q_2 \\Q_3 & Q_4\end{pmatrix},\;\; P_i,Q_i \in \mathbf{M}_n(\mathbb{C}) \; \forall \; i \in \{1;2;3;4\}$
Suy ra $$\begin{pmatrix} A& B\\ C&D \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}P_1 &P_2 \\ P_3& P_4\end{pmatrix}\begin{pmatrix} I_n& O\\O &O \end{pmatrix}\begin{pmatrix}Q_1 &Q_2 \\Q_3 & Q_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}P_1Q_1 &P_1Q_2 \\P_3Q_1 & P_3Q_2\end{pmatrix}$$
$$\Rightarrow A=P_1Q_1\;\;,B=P_1Q_2\;\;, C=P_3Q_1\;\;, D=P_3Q_2$$
$$\Rightarrow |A||D|=|P_1||P_3||Q_1||Q_2|=|B||C|$$
$$\Leftrightarrow \begin{vmatrix}|A| &|B| \\|C| & |D|\end{vmatrix}=0$$
Nói thêm, nếu $A$ khả nghịch, do đó $P_1,Q_1$ cũng khả nghịch, suy ra $D=P_3Q_1{Q_1}^{-1}{P_1}^{-1}P_1Q_2=CA^{-1}B$
- vo van duc và quangbinng thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh