Cho các số thực a,b,c thỏa mãn: $ab+bc+2ca=6$
Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=a^{2}+2b^{2}+c^{2}$
Cho các số thực a,b,c thỏa mãn: $ab+bc+2ca=6$
Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=a^{2}+2b^{2}+c^{2}$
Cho các số thực a,b,c thỏa mãn: $ab+bc+2ca=6$
Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=a^{2}+2b^{2}+c^{2}$
Gọi $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ là các tham số dương
Áp dụng bất đẳng thức $AM - GM$:
$$\alpha^2 a^2+\beta^2 b^2 \geqslant 2\alpha \beta \left|ab\right| \geqslant 2\alpha \beta ab$$
$$\alpha^2 c^2+\beta^2 b^2 \geqslant 2\alpha \beta \left|cb\right|\geqslant 2\alpha \beta bc$$
$$\gamma^2 a^2+\gamma^2 c^2 \geqslant 2 \gamma^2 \left|ac\right| \geqslant 2 \gamma^2 ca$$
Cộng ba bất đẳng thức trên vế với vế, ta có:
$$\left(\alpha^2+\gamma^2\right)a^2 +2\beta^2 b^2 +\left(\alpha^2+\gamma^2\right) c^2 \geqslant 2\alpha \beta \left( ab+bc \right)+2\gamma^2 ca$$
Ta chỉ cần chọn $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ sao cho:
\begin{align*} & \begin{cases} \alpha^2+\gamma^2=\beta^2 \\ 2\alpha \beta = \gamma^2 \end{cases} \\ \Leftrightarrow & \begin{cases} \alpha^2 +2\alpha \beta -\beta^2 \\ 2\alpha\beta=\gamma^2 \end{cases} \\ \Rightarrow & \begin{cases} \alpha=\left(-1+\sqrt{2}\right)\beta \\ 2\alpha\beta=\gamma^2 \end{cases} \end{align*}
Chọn $\beta=1$, khi đó ta sẽ có $\alpha = \left(-1+\sqrt{2}\right)\beta =-1+\sqrt{2}$ và $\gamma=\sqrt{2\alpha\beta}=\sqrt{-2+2\sqrt{2}}$
Vậy ta có:
$$\beta^2 \left(a^2 +2b^2 +c^2\right) \geqslant \gamma^2 \left( ab+bc+2ca \right)$$
Suy ra:
$$P=a^2+2b^2+c^2 \geqslant \dfrac{\gamma^2\left(ab+bc+2ca\right)}{\beta^2}=-12+12\sqrt{2}$$
Dấu bằng xảy ra khi $a=c=\dfrac{\sqrt[4]{72}}{2}$, $b=\dfrac{\left(-1+\sqrt{2}\right)\sqrt[4]{72}}{2}$
Vậy $\min P = -12+12\sqrt{2}$ khi $a=c=\dfrac{\sqrt[4]{72}}{2}$, $b=\dfrac{\left(-1+\sqrt{2}\right)\sqrt[4]{72}}{2}$
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh