Chủ đề này có 1 trả lời

[superheroland]

Giúp em bài này với. Câu a và b em làm được rồi. Em cảm ơn.

Ta định nghĩa hàm F(x), $0\leq x\leq \pi /2$ bằng biểu thức:

  $F(x)= \int_{0}^{tanx}\frac{1}{1+t^{2}}dt$

a, Bằng cách dùng định lý cơ bản của giải tích, tính F'(x). 

b, Bằng cách dùng câu a, tìm công thức cho F(x).

c, Dùng công thức của F(x) để tìm nguyên hàm của  $\frac{1}{1+x^{^{2}}}$ ( không sử dụng bảng nguyên hàm ), giải thích tại sao có được nguyên hàm đó. 

 

[fghost]

$$F'(x)=\frac{1}{1+(tan(x))^2}sec^2(x) \Rightarrow F'(x)=\frac{sec^2(x)}{sec^2(x)}=1 \Rightarrow F(x)=x+C$$

 

với hằng số $C$ nào đó. Vì vậy ta có với $tan(x)=y$ và $x= tan^{-1}(y)$

$$\int_{0}^{tan(x)}\frac{1}{1+t^2}dt=x+C \Rightarrow \int_{0}^{y}\frac{1}{1+t}dt=tan^{-1}(y)+C$$

 

Gọi $H(t)$ là nguyên hàm của $\frac{1}{1+t}$, lúc này ta có

$$H(y)-H(0)=tan^{-1}(y)+C \Rightarrow H(y)+C'=tan^{-1}(y)$$

 

với $C'=-C-H(0)$ là 1 hằng số. Vì $H(y)$ là nguyên hàm của $\frac{1}{1+y^2}$ nên $tan^{-1}(y)=H(y)-C'$ cũng là nguyên hàm của $\frac{1}{1+y^2}$

 

Đổi biến lại cho đẹp, ta có $tan^{-1}(x)$ là nguyên hàm của $\frac{1}{1+x^2}$