Chủ đề này có 2 trả lời

[xupbomen]

Tìm $ f: \mathbb{R} \rightarrow  \mathbb{R} $

$ f(xy) = f(x)f(y) - f(x+y) +1  \forall x,y \in \mathbb{R} $

[nhungvienkimcuong]

Tìm $ f: \mathbb{R} \rightarrow  \mathbb{R} $

$ f(xy) = f(x)f(y) - f(x+y) +1  \forall x,y \in \mathbb{R} $

sau đây là lời giải trong cuốn "chuyên khảo PTH"

đặt $g(x)=f(x)-1$ thì từ giả thiết ta có $g(xy)+g(x+y)=g(x)g(y)+g(x)+g(y)\ \ \forall x,y\in \mathbb{R}$                                     $(1)$

nếu $g$ là hàm hằng thì $\overset{(1)}{\Rightarrow }g(x)\equiv 0$

giả sử $g$ không phải là hàm hằng.

$P_{(1)}(0,0)\rightarrow g(0)=0$

$P_{(1)}(x,1)\rightarrow g(1)\left [ g(x)+1 \right ]=g(x+1) \ \ \forall x\in \mathbb{R}$                  $(2)$

nếu $g(1)=0\overset{(2)}{\Rightarrow }g(x+1)=0$ hay $g$ là hàm hằng điều này vô lí do đó $f(1)\neq 0$

$P_{(2)}(-1)\rightarrow g(1)\left [ g(-1)+1 \right ]=0\Leftrightarrow g(-1)=-1$

$P_{(1)}(1,1)\rightarrow g(1)=-1-g(-2)$

$P_{(2)}(-2)\rightarrow g(1)\left [ g(-2)+1 \right ]=-1\Leftrightarrow -g^2(1)=-1\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} g(1)=1\\g(1)=-1 \end{matrix}\right.$

$\blacksquare$ với $g(1)=-1$

$P_{(1)}(x,-1)\rightarrow g(-x)=-\left [ 1+g(x-1) \right ]=g(1)\left [ 1+g(x-1) \right ]\overset{(2)}{=}g(x)$

$P_{(1)}(x,x)\rightarrow g^2(x)=g(x^2)-2g(x)+g(2x)$

$P_{(1)}(x,-x)\rightarrow g(x^2)=g^2(x)+2g(x)$

do đó $g^2(x)=g^2(x)+2g(x)-2g(x)+g(2x)\Rightarrow g(2x)=0\Rightarrow g(x)=0 \ \ \forall x\in \mathbb{R}$

điều này vô lí

$\blacksquare$ với $g(1)=1$

$\overset{(2)}{\Rightarrow}g(x)+1=g(x+1) \ \ \forall x\in \mathbb{R}$                                                                                $(3)$

từ $(3)$ theo quy nạp ta có $\left\{\begin{matrix} g(a)=a \ \ \forall a\in \mathbb{Z}\\ g(x+a)=g(x)+g(a) \ \ \forall x\in \mathbb{R},a\in \mathbb{Z} \end{matrix}\right.$

với mọi $x\in \mathbb{R},a\in \mathbb{Z}$ ta có $g(ax)=g(a)g(x)+g(a)+g(x)-g(a+x)=ag(x)$

do đó $q.g\left ( \frac{p}{q} \right )=g(p)=p\Rightarrow g\left ( \frac{p}{q} \right )=\frac{p}{q}\Rightarrow g(x)=x \ \ \forall x\in \mathbb{Q}$

$P_{(1)}(x,x)\rightarrow g(x^2)=g^2(x)$ do đó $\left\{\begin{matrix} g(x)\geq 0 \ \ \forall x\geq 0\\ g(x)\leq 0 \ \ \forall x\leq 0 \end{matrix}\right.$

ta chứng minh được $g\left ( \frac{x}{n} \right )=\frac{g(x)}{n} \ \ \forall x\in \mathbb{R},n\in \mathbb{Z}^+$

do đó với $q\in \mathbb{Q}$ ta chứng minh được $g(x+q)=g(x)+q$

ta chứng minh nếu $x>y$ thì $g(x)\geq  g(y)$.Tồn tại $r\in \mathbb{Q}$ sao cho $y<r<x$.Thật vậy

$g(x)=g(x-r)+r\geq r\geq r+g(y-r)=g(y)$

giả sử tồn tại $x$ sao cho $g(x)\neq x$.

không mất tính tổng quát giả sử $g(x)>x$

do đó $\exists r\in \mathbb{Q}$ mà $x<r<g(x)$

$\Rightarrow g(x)>r=g(r)\Rightarrow x\geq r$

điều này vô lí do đó $g(x)=x \ \ \forall x\in \mathbb{R}$

vậy có hai hàm $g$ thỏa đề là $g(x)=0$ và $g(x)=x$ do đó $f(x)=1$ và $f(x)=x$

thử lại ta có $\boxed{f(x)=1,f(x)=x+1 \ \ \forall x\in \mathbb{R}}$

 

U-Th

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 25-01-2015 - 18:17

[cachuoi]

thay g(x)=f(x)-1 rồi thì được pth quen thuộc rồi , cũng là đề thi olympic hà tĩnh thì phải