Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

$ f(xy) = f(x)f(y) - f(x+y) +1 \forall x,y \in \mathbb{R} $


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 xupbomen

xupbomen

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết

Đã gửi 18-01-2015 - 22:55

Tìm $ f: \mathbb{R} \rightarrow  \mathbb{R} $

$ f(xy) = f(x)f(y) - f(x+y) +1  \forall x,y \in \mathbb{R} $



#2 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 463 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 25-01-2015 - 14:57

Tìm $ f: \mathbb{R} \rightarrow  \mathbb{R} $

$ f(xy) = f(x)f(y) - f(x+y) +1  \forall x,y \in \mathbb{R} $

sau đây là lời giải trong cuốn "chuyên khảo PTH"

đặt $g(x)=f(x)-1$ thì từ giả thiết ta có $g(xy)+g(x+y)=g(x)g(y)+g(x)+g(y)\ \ \forall x,y\in \mathbb{R}$                                     $(1)$

nếu $g$ là hàm hằng thì $\overset{(1)}{\Rightarrow }g(x)\equiv 0$

giả sử $g$ không phải là hàm hằng.

$P_{(1)}(0,0)\rightarrow g(0)=0$

$P_{(1)}(x,1)\rightarrow g(1)\left [ g(x)+1 \right ]=g(x+1) \ \ \forall x\in \mathbb{R}$                  $(2)$

nếu $g(1)=0\overset{(2)}{\Rightarrow }g(x+1)=0$ hay $g$ là hàm hằng điều này vô lí do đó $f(1)\neq 0$

$P_{(2)}(-1)\rightarrow g(1)\left [ g(-1)+1 \right ]=0\Leftrightarrow g(-1)=-1$

$P_{(1)}(1,1)\rightarrow g(1)=-1-g(-2)$

$P_{(2)}(-2)\rightarrow g(1)\left [ g(-2)+1 \right ]=-1\Leftrightarrow -g^2(1)=-1\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} g(1)=1\\g(1)=-1 \end{matrix}\right.$

$\blacksquare$ với $g(1)=-1$

$P_{(1)}(x,-1)\rightarrow g(-x)=-\left [ 1+g(x-1) \right ]=g(1)\left [ 1+g(x-1) \right ]\overset{(2)}{=}g(x)$

$P_{(1)}(x,x)\rightarrow g^2(x)=g(x^2)-2g(x)+g(2x)$

$P_{(1)}(x,-x)\rightarrow g(x^2)=g^2(x)+2g(x)$

do đó $g^2(x)=g^2(x)+2g(x)-2g(x)+g(2x)\Rightarrow g(2x)=0\Rightarrow g(x)=0 \ \ \forall x\in \mathbb{R}$

điều này vô lí

$\blacksquare$ với $g(1)=1$

$\overset{(2)}{\Rightarrow}g(x)+1=g(x+1) \ \ \forall x\in \mathbb{R}$                                                                                $(3)$

từ $(3)$ theo quy nạp ta có $\left\{\begin{matrix} g(a)=a \ \ \forall a\in \mathbb{Z}\\ g(x+a)=g(x)+g(a) \ \ \forall x\in \mathbb{R},a\in \mathbb{Z} \end{matrix}\right.$

với mọi $x\in \mathbb{R},a\in \mathbb{Z}$ ta có $g(ax)=g(a)g(x)+g(a)+g(x)-g(a+x)=ag(x)$

do đó $q.g\left ( \frac{p}{q} \right )=g(p)=p\Rightarrow g\left ( \frac{p}{q} \right )=\frac{p}{q}\Rightarrow g(x)=x \ \ \forall x\in \mathbb{Q}$

$P_{(1)}(x,x)\rightarrow g(x^2)=g^2(x)$ do đó $\left\{\begin{matrix} g(x)\geq 0 \ \ \forall x\geq 0\\ g(x)\leq 0 \ \ \forall x\leq 0 \end{matrix}\right.$

ta chứng minh được $g\left ( \frac{x}{n} \right )=\frac{g(x)}{n} \ \ \forall x\in \mathbb{R},n\in \mathbb{Z}^+$

do đó với $q\in \mathbb{Q}$ ta chứng minh được $g(x+q)=g(x)+q$

ta chứng minh nếu $x>y$ thì $g(x)\geq  g(y)$.Tồn tại $r\in \mathbb{Q}$ sao cho $y<r<x$.Thật vậy

$g(x)=g(x-r)+r\geq r\geq r+g(y-r)=g(y)$

giả sử tồn tại $x$ sao cho $g(x)\neq x$.

không mất tính tổng quát giả sử $g(x)>x$

do đó $\exists r\in \mathbb{Q}$ mà $x<r<g(x)$

$\Rightarrow g(x)>r=g(r)\Rightarrow x\geq r$

điều này vô lí do đó $g(x)=x \ \ \forall x\in \mathbb{R}$

vậy có hai hàm $g$ thỏa đề là $g(x)=0$ và $g(x)=x$ do đó $f(x)=1$ và $f(x)=x$

thử lại ta có $\boxed{f(x)=1,f(x)=x+1 \ \ \forall x\in \mathbb{R}}$

 

U-Th


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 25-01-2015 - 18:17

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 


#3 cachuoi

cachuoi

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:hà nội
  • Sở thích:chả khoái gì

Đã gửi 27-01-2015 - 22:11

thay g(x)=f(x)-1 rồi thì được pth quen thuộc rồi , cũng là đề thi olympic hà tĩnh thì phải






2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh