Chủ đề này có 2 trả lời

[choangkute]

Đề bài : 

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi choangkute: 19-01-2015 - 12:09

[vo van duc]

$\textbf{1) Chứng minh hệ véc tơ độc lập tuyến tính}$
$\textbf{Phương pháp:}$ Trong không gian véc tơ $\textbf{V}$ trên trường $\mathbb{K}$, để chứng minh hệ véc tơ ${ u_1, u_2,... , u_n }$ độc lập tuyến tính thì theo định nghĩa, với các số $\alpha _1,\alpha _2,...\alpha _n \in \mathbb{K}$ ta chứng minh $$\alpha _1u_1+\alpha _2u_2+\cdots +\alpha _nu_n=0 \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _1=\alpha _2=\cdots =\alpha _n=0$$Trong đó, chiều nghịch là hiển nhiên nên chúng ta chỉ cần chứng minh chiều thuận, tức là giả sử có quan hệ $$\alpha _1u_1+\alpha _2u_2+\cdots +\alpha _nu_n=0$$ từ đó ta chứng minh $$\alpha _1=\alpha _2=\cdots =\alpha _n$$Trở lại bài toán của bạn, chúng ta sẽ cụ thể hóa phương pháp chung này.

$\textbf{Đề bài:}$ Trong $\textbf{C}(\mathbb{R})$, chứng minh tập $A=\{ u_1=e^x, u_2=\sin x\}$ độc lập tuyến tính.

$\textbf{Lời giải:}$
Giả sử $$\alpha _1e^x+\alpha _2 \sin x=0 \qquad \forall \alpha _1, \alpha _2 \in \mathbb{R}, \forall x\in \mathbb{R}$$Đẳng thức trên đúng $\forall x\in \mathbb{R}$ nên đúng với các giá trị $x$ hữu hạn.

Với $x=0$, ta có $$\alpha _1=0 \qquad (1)$$Với $x=\frac{\pi}{2}$, ta có $$\alpha _1e^{\frac{\pi}{2}}+\alpha _2=0 \quad (2)$$Từ $(1)$ và $(2)$ ta suy ra $\alpha _1 =\alpha _2=0$

Kết luận, tập $A$ độc lập tuyến tính
..................

[vo van duc]

$\textbf{Chứng minh hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính}$
$\textbf{Phương pháp:}$ Theo định nghĩa thì ta chỉ cần chỉ ra một bộ số $\alpha _1, \alpha _2,\ldots ,\alpha _n$ không đồng thời bằng không thỏa mãn đẳng thức $$\alpha _1u_1+\alpha _2u_2+\cdots +\alpha _nu_n=0$$ thì kết luận hệ $\{ u_1, u_2, \ldots , u_n\}$ phụ thuộc tuyến tính.

Cụ thể, với bài toán của bạn, để chứng minh tập $$B=\{v_1=1,v_2=\cos 4x,v_3=\sin ^2 2x\}$$ phụ thuộc tuyến tính thì ta có $$2\sin ^22x =1-\cos 4x$$ $$\Leftrightarrow \quad 1.1-1.\cos 4x-2.\sin ^22x=0$$ $$\Leftrightarrow \quad 1.v_1-1.v_2-2.v_3=0$$Đẳng thức trên cho thấy tập $B$ phụ thuộc tuyến tính.