ĐỀ THI KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN LỚP 10 KHTN NĂM 2015
Câu I: Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix} 2x^3+1=3zx & & \\ 2y^3+1=3xy & & \\ 2z^3+1=3yz & & \end{matrix}\right.$
Câu II: Cho dãy $\left \{ a_n \right \}$ ( $n\in\mathbb{N^+}$) xác định bởi
$\left\{\begin{matrix} a_1=1,a_2=4 & \\ a_{n+2}=7a_{n+1}-a_n-2 & \end{matrix}\right.$
CMR $a_n$ là số chính phương với mọi số nguyên dương $n$
Câu III: Cho tam giác $ABC$ có $M,N$ lần lượt thuộc đoạn $CA,AB$ sao cho $MN$ song song với $BC$. $P$ là điểm di chuyển trên đoạn $MN$. Lấy điểm $E$ sao cho $EP\perp AC$ và $EC\perp BC$. Lấy $F$ sao cho $FP\perp AB$ và $FB\perp BC$
a) Chứng minh rằng $EF$ luôn đi qua một điểm cố định khi $P$ di chuyển
b) Đường thẳng qua $A$ vuông góc $EF$ cắt $BC$ tại $Q$. CMR trung trực $BC$ chia đôi $PQ$
c) Gọi $EM$ cắt $FN$ tại $L$. $AQ$ cắt $MN$ tại $R$. Chứng minh rằng $RL\perp BC$
Câu IV Cho đa thứ $P(x)$ thỏa mãn $P(0)=2014!$ và $(x-1)P(x-1)=(x-2015)P(x)$. CMR đa thức $(P(x))^2+1$ không thể phân tích thành tích của hai đa thức với hệ số nguyên có bậc lớn hơn hoặc bằng $1$
Câu V: Cho $a,b,c,d>0$ và $a+b+c+d=4$. CMR
$P=\frac{(a+\sqrt{b})^2}{\sqrt{a^2-ab+b^2}}+\frac{(b+\sqrt{c})^2}{\sqrt{b^2-bc+c^2}}+\frac{(c+\sqrt{d})^2}{\sqrt{c^2-cd+d^2}}+\frac{(d+\sqrt{a})^2}{\sqrt{d^2-ad+a^2}}\leq 16$
____________________Hết______________________