Chủ đề này có 37 trả lời

[toilachinhtoi]

Trong topic này tôi có ý định trình bày một số khái niệm cơ bản về hình học vi phân. Mục đích chính là trình bày những khía cạnh tính toán trong hình học vi phân. Vì tôi chỉ mới vừa học được một ít nên những trình bày của tôi có thể sai lầm. Trong diễn đàn này có nhiều bạn rất siêu về hình học+topo+đại số, do đó rất mong được chỉ giáo.

1) Bề mặt trái đất là một đa tạp hai chiều:

Nếu chúng ta đứng tại một chỗ trên mặt đất và nhìn khung cảnh ở gần mình thì ta có cảm tưởng như mặt đất là phẳng, nghĩa là hai chiều. Đây chính là điều mà nhiều người thời xưa đã lầm tưởng. Chỉ khi đã có những chuyến tàu đi vòng quanh thế giới người ta mới biết rằng bề mặt trái đất không phẳng mà gần giống một mặt cầu. Như vậy một cách địa phương Trái Đất là hai chiều, nhưng xét về toàn cục thì nó phải là ba chiều.

Một cách tương tự ta có thể hỏi: Vũ trụ có mấy chiều? Nhìn xung quanh ta, ta thấy có vẻ Vũ trụ ba chiều. Nhưng như kinh nghiệm về bề mặt Trái Đất đã chỉ ra, trừ phi chúng ta đã đi vòng quanh khắp vũ trụ và quay về chỗ cũ, chúng ta không thể kết luận chính xác vũ trụ có mấy chiều.

2) Khái niệm đa tạp khả vi:

Một đa tạp m-chiều là một không gian topo M, mà xét một cách địa phương, nó là m-chiều. Nói một cách chính xác, tại mỗi điểm http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R^m và một hàm http://dientuvietnam...imetex.cgi?C^k: Ta thấy các phép biến đổi tọa độ là những hàm từ http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R^m vào http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R^m nên ta có thể xem xét tính trơn của chúng một cách thông thường. Nếu tất cả các phép biến đổi tọa độ của M đều thuộc lớp http://dientuvietnam...mimetex.cgi?C^k thì ta nói M là đa tạp thuộc lớp http://dientuvietnam...imetex.cgi?C^k.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toilachinhtoi: 07-04-2006 - 18:11

[quantum-cohomology]

Một cách tương tự ta có thể hỏi: Vũ trụ có mấy chiều? Nhìn xung quanh ta, ta thấy có vẻ Vũ trụ ba chiều. Nhưng như kinh nghiệm về bề mặt Trái Đất đã chỉ ra, trừ phi chúng ta đã đi vòng quanh khắp vũ trụ và quay về chỗ cũ, chúng ta không thể kết luận chính xác vũ trụ có mấy chiều.

Có lẽ đây là câu hỏi khó , không hiểu TCLT lại đưa cái này vào đây ý là làm sao?

[Kakalotta]

Toàn bộ nhân loại vẫn chưa thể chứng minh được vũ trụ có 10 hay 11 chiều, và đến nay tất cả chỉ là giả thuyết.

[toilachinhtoi]

To QC: Ý tôi là không thể biết được vũ trụ có mấy chiều và thực ra có phải là một đa tạp hay không nữa.

3) Tính trơn của các hàm số giữa các đa tạp:

Cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\tilde{f}.

4) Một số ví dụ về đa tạp khả vi:

VD1: Xét mặt cầu http://dientuvietnam...tex.cgi?f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0. Ta tính Jacobi của f: http://dientuvietnam...gi?Jf=(2x,2y,2z). Vì x,y,z không thể đồng thời bằng 0, ta suy ra rank của Jf là 1. Do đó bởi định lý hàm ẩn, tại một lân cận nhỏ của mỗi điểm (x,y,z) của mặt cầu ta có thể biểu diễn một trong các tọa độ x,y,z thông qua qua hai tọa độ khác. Như vậy mặt cầu là đa tạp 2 chiều.

VD2: Xét tập hợp http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R^2 có một tangent space hay không?

[toilachinhtoi]

6) Tại mỗi điểm x của đa tạp trơn M có một tangent space, mà là một không gian vécto với số chiều bằng số chiều của M:

Lấy ví dụ http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R^2 ở trong mục 5. Nếu ta xét trong http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R^2 thì ta khó có thể tưởng tượng tangent space của nó là gì. Nhưng nếu ta xem nó như là một tập con của http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R^3 thì vấn đề trở nên rõ ràng: Tại mỗi điểm x thì tangent space của nó chính là http://dientuvietnam...imetex.cgi?R^2.

Tương tự như vậy, tại mỗi điểm x của đa tạp trơn M có một tangent space, mà là một không gian vécto với số chiều bằng số chiều của M, kí hiệu là http://dientuvietnam...metex.cgi?T_xM. Mỗi vécto trong tangent space gọi là một tangent vécto.

Trong cơ học hay vật lý, tangent space là tập hợp các chuyển dịch tức thời có thể của một điểm đang chuyển dịch trên một bề mặt.

7) Các cách định nghĩa tangent vécto:

[toilachinhtoi]

7) Các cách định nghĩa vécto tiếp tuyến (tangent vector):

a) Véc tơ tiếp tuyến tại x xem như tiếp tuyến của các đường cong - Germ:

Trong hình học giải tích ta đã định nghĩa mặt phẳng tiếp tuyến của một mặt cong như tập hợp các véc tơ tiếp tuyến của các đường cong. Tương tự như vậy ta có thể định nghĩa véc tơ tiếp tuyến của một đường cong trơn trên một đa tạp M bất kì.

Ta gọi một đường cong trơn tại điểm http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R^3 như sau:

_Tiếp tuyến http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?C^{\infty}(I,M) tập hợp các đường cong trơn trong M. Hai đường cong http://dientuvietnam...metex.cgi?T_aM.

b) Vécto tiếp tuyến xem như một toán tử đạo hàm theo hướng:

Ta kí hiệu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?C^{\infty}(M,R) là tập hợp các hàm trơn từ M vào R. Một toán tử đạo hàm tại a thuộc M là một ánh xạ http://dientuvietnam...metex.cgi?T_aM.

Bây giờ xét trường hợp đặc biệt http://dientuvietnam...metex.cgi?M=R^m và xét một vécto . Ta định nghĩa một toán tử đạo hàm D_v như sau: D_vf(a) là đạo hàm theo hướng v của f tại điểm a, nghĩa là

.

Như vậy toán tử đạo hàm D_v trùng với vécto thông thường v.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toilachinhtoi: 10-04-2006 - 14:23

[ánh xạ]

Tiếp tục đi bạn ơi!

[toilachinhtoi]

8) Cơ sở của tangent space:

Cho M là đa tạp m chiều, http://dientuvietnam...imetex.cgi?T_aM là tangent space tại a. Như ta đã nói, http://dientuvietnam...imetex.cgi?T_aM là một không gian vécto m chiều. Một cơ sở của không gian này có thể định nghĩa một cách khá đơn giản và tư nhiên như sau:

Ta sẽ định nghĩa một tangent vector như một toán tử đạo hàm (xem mục 7b). Chọn một chart http://dientuvietnam...mimetex.cgi?u(x)=(u^1(x),...,u^m(x)) (Lưu ý: http://dientuvietnam...mimetex.cgi?u^k không có nghĩa là lũy thừa cấp k của u, nó chỉ là chỉ số ở trên, giống như chỉ số dưới http://dientuvietnam...imetex.cgi?u_j. Đây là một quy ước trong hình học vi phân). Ta định nghĩa m tangent vector http://dientuvietnam...cgi?X_1,...,X_m tạo thành cơ sở của http://dientuvietnam...imetex.cgi?T_aM, gọi là cơ sở chính tắc của chart http://dientuvietnam...imetex.cgi?(u,U).

Như vậy nếu nhớ lại định nghĩa là f trơn nếu và chỉ nếu http://dientuvietnam...imetex.cgi?(u,U) là một chart quanh a với cơ sở chính tắc http://dientuvietnam...cgi?X_1,...,X_m và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(v,V) là một chart quanh f(a) với cơ sở chính tắc http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Y_1,...,Y_n. Khi đó đạo hàm của f là một hàm số : http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?AX=Y với A là ma trận Jacobi tại u(a) của hàm số http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_1^2+...+x_n^2=1 và N là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R^m. Hãy định nghĩa các chart trong M và N sau đó tìm các tangent bundle TM và TN. Nếu . Tính Tf.

[toilachinhtoi]

11) Một số tính chất của đạo hàm:

Nếu http://dientuvietnam...i?g(x_1,...,x_n)=x_1^2+...+x_n^2-1 thì Jacobi của g http://dientuvietnam...=(2x_1,...,2x_n). Trên M thì x_1,...,x_n không đồng thời bằng 0 nên rank g luôn bằng 1, vậy theo định lý hàm ẩn ta suy ra M là đa tạp n-1 chiều. Cụ thể xét a=(0,0,...,0,1). Thì có một tập mở U của a trong M sao cho http://dientuvietnam...?x=(x_1,...,x_n). Ánh xạ ngược là http://dientuvietnam...x_1,...,x_{n-1})=(x_1,...,x_{n-1},\sqrt{1-x_1^2-...-x_{n-1}^2}). Vì N là http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R^n nên ta chọn chart là v=Id: ánh xạ đồng nhất. Ánh xạ http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\tilde{f}(x_1,...,x_{n-1})=(x_1,...,x_{n-1},\sqrt{1-x_1^2-...-x_{n-1}^2}. Jacobi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?J\tilde{f}=[[1,0,...,0],[0,1,0,...,0],....,[0,0,...,0,1],[-x_1/\sqrt{1-x_1^2-...-x_{n-1}^2},...,-x_{n-1}/\sqrt{1-x_1^2-...-x_{n-1}^2}]]. Do đó kí hiệu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Tf.X_i=Y_i-(x_i/\sqrt{1-x_1^2-...-x_{n-1}^2}Y_n.

VD2: Cho http://dientuvietnam...cgi?X_1,...,X_m là cơ sở chính tặc đối với chart http://dientuvietnam...u^{1},...,u^{m}). Tính http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Tu_i.X_j. Ta chọn chart trên R^m là v=Id.

Đặt http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Tu.X_i=Y_i (Y_i là cơ sở chính tắc trong R^m). Tương tự ta được http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\tilde{c}(t)=(u^{1}(c(t)),...,u^{m}(c(t))). Jacobi của nó là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?J\tilde{c}(t)=([u^{1}(c(t))]'_t,...,[u^{m}(c(t))]'_t). Do đó
như chúng ta đã nói ở mục 7a.

[Nameless]

Cho em hỏi, muốn học hình học vi phân thì cần có những kiến thức gì trước ạ ?

[toilachinhtoi]

13) Tangent bundle là một đa tạp:

Nhắc lại http://dientuvietnam...tex.cgi?Tg=T(Tf) (hàm này gọi là đạo hàm bậc 2 của f). Ta sử dụng phương pháp nói trong mục 10.

Ta xác định hàm http://dientuvietnam...etex.cgi?Tf(x,v)=(f(x),T_xf.v). Nếu ta xét trong trường hợp đơn giản là M và N là các không gian véc tơ ta có công thức đạo hàm của g là như sau
. Thế vào công thức của g ta được
. Công thức trên rút gọn thành
.

To nameless: Để học hình học vi phân thì em chỉ cần kiến thức về Giải tích nhiều biến+Đại số tuyến tính.

---------
Sorry, cho Lim đặt nhờ đường link
Các bạn có thể theo dõi chi tiết ở topic này

[Nameless]

Anh toilachinhtoi có thể cho em biết những cuốn nào tốt cho hình học vi phân không ạ ? Đồng thời anh có thể nói cuốn đó phục vụ ngành nào không ạ ?

[toilachinhtoi]

To nameless: À anh quên, để học hình học vi phân em cần biết cơ bản về topo (khái niệm tập mở, hàm liên tục).

Kinh nghiệm học của anh là như sau:

_Trước hết họ hình học Riemann. Một cuốn tốt là Introduction to Riemmanian geometry của Sidgmunson(người Thụy Điển).

_Tiếp theo học hình học vi phân tổng quát và chuyên sâu.

_Theo anh biết thì có một cuốn trình bày khá đầy đủ hình học vi phân cho vật lý. (Lee J M, Differential Geometry, Analysis and Physics).

Em tìm các cuốn sách này trên thư viện sách của google + lookforbook.

15) Đạo hàm cấp hai và cấp cao của một hàm trơn:

Ta tính toán cụ thể đạo hàm cấp 2 ở mục 14.

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Y_j|_{a(x)} là trường vecto cơ bản.

17) Đạo hàm của một vector field:

Cho http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x^* để phân biệt với kí hiệu http://dientuvietnam....cgi?Tv.Y_j=H_j (H_j là cơ sở chính tắc của http://dientuvietnam...metex.cgi?R^{n}) ta được
.

Do đó dùng kĩ thuật ở mục 14, nếu thì
.

Do đó nếu thì
.

Vậy đạo hàm của một vector field cũng là một vector field:
.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toilachinhtoi: 16-04-2006 - 12:07

[toilachinhtoi]

18) Một trường hợp đơn giản của mục 17:

Ta xét trường hợp vector field là một hàm http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{d}{dt}(c(t).f)=(\dfrac{d}{dt}c(t)).f.

19) Flow:

Xét http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?X là tangent vector của c?

Bài toán tương đương với http://dientuvietnam...cgi?X_1,...,X_m là cơ sở chính tắc của tangent space của M cho một chart (u,U). Ta có
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R^m:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?u^c(t)=u(x_0).

Nếu ta viết http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{dy_j}{dt}=f_j(y_1,...,y_m) với http://dientuvietnam...metex.cgi?y_j(0)=u^{j}(x_0).

Từ lý thuyết phương trình vi phân ta thấy rằng có một khoảng nhỏ http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?U của x_0 sao cho chart http://dientuvietnam...imetex.cgi?(u,U) là một homeomorphism từ U vào một lân cận mở W của http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R^m, bằng cách hạn chế http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?u xuống http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?u(U) compact. Như vậy lí luận compact đơn giản chỉ ra kết quả sau:

Cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X là một vector field trên M. Cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_0 và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{d}{dt}c(x,t)=X(c(x,t)),c(x,0)=x.

Ta kí hiệu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Fl_{t}^X(x)=c(x,t) gọi là flow của vector field.

Tính chất của Flow:

_Nếu cố định http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x=x_0 thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Fl_t^{X}(x_0xI) là một đa tạp 1 chiều (đường cong trên M).

_Nếu cố định http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?t=t_0 thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Fl_{t_0}^X(Uxt_0) là một đa tạp m chiều.

Thực ra trong các trường hợp trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Fl_t^X là một diffeomorphism. Lưu ý điều này sẽ xuất hiện trong định nghĩa của đạo hàm Lie.

20) Bracket:

Cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X(x),Y(x) là các vector field. Ta định nghĩa một vector field http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?[X,Y](x) xác định như sau: Nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?[X,Y].f=X.(Y.f)-Y.(X.f) (Lưu ý: http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X.(Y.f) là hợp lệ.

Ta tính [X,Y].
Nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X_k(X_jf)=X_j(X_kf). Điều này tương tự như tính chất
nếu f là hàm trơn.

Lưu ý: Bracket khá giống với tích vector trong hình học giải tích cơ sở.

[toilachinhtoi]

21) Đa tạp con: Cho M là một đa tạp m chiều. Cho N là một tập con của M. N gọi là đa tạp con k chiều của M nếu với mọi http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R^k là một không gian véc tơ con của http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R^m (Bổ sung: Tại mỗi điểm x của M ta có thể có nhiều chart, miễn rằng chúng tương thích nhau, nghĩa là các phép biến đổi tọa độ là trơn).

Một ví dụ đơn giản là: Mọi tập con mở của một đa tạp m chiều đều là đa tạp con m chiều.

22) Định lý hàm ẩn.

Định lý hàm ẩn: Cho M và N là hai đa tạp m và n chiều. Cho http://dientuvietnam...ex.cgi?f^{-1}(b) là một đa tạp con m-k chiều của M.

Chứng minh: Cố định http://dientuvietnam...metex.cgi?f(x_0)=b và gọi http://dientuvietnam...imetex.cgi?(u,U) là một chart quanh http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x_0 và http://dientuvietnam...imetex.cgi?(v,V) là một chart quanh http://dientuvietnam...metex.cgi?f(x_0)=b.

Ta xét ánh xạ http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?T\tilde{f} có rank hằng số k tại mọi điểm trong http://dientuvietnam...mimetex.cgi?u(U). Đặc biệt, sau một sự sắp xếp lại các tọa độ, ta có thể giả sử rằng Jacobi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?J\tilde{f}(x_0^{*})=([A,B],[C,D]) ở đây A là ma trận kxk, B là ma trận kx(n-k), C là ma trận (m-k)xk và D là ma trận (m-k)x(n-k) và rank A=k=rank ([A(x_0),B(x_0)],[C(x_0),D(x_0)]), kí hiệu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\tilde{f} trơn, trong một lân cận nhỏ của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x^* thì rank A[x]=k. Như vậy nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x_1^*,...,x_k^* thông qua m-k tọa độ còn lại theo định lý hàm ẩn thông thường. Vậy http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R^m, khi đó http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f^{-1}(b) là một đa tạp con m-k chiều của M.

23) Cấu trúc của tangent space của một đa tạp con xác định từ hàm ẩn:

Cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?W=f^{-1}(b) là đa tạp con m-k chiều của M được xác định như trong mục 22. Ta chứng minh rằng: Nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\tilde{f}^{-1}©=u(W)=W^*. Ta xác định khi nào thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?T_{x^{*}}W^{*}? Ta dùng định nghĩa a trong mục 7.

Ta có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a(0)=x^{*} và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\tilde{f}(a(t))=c với mọi t nên
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?0=\dfrac{d}{dt}\tilde{f}(a(t))=T_{a(t)}\tilde{f}.a'(t) với mọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?T_{x^{*}}W^{*} có số chiều m-k. Do đó ta kết luận .

Bây giờ nếu thì vì .

Ví dụ thông thường là vector tangent của một mặt xác định bởi phương trình f(x,y,z)=0 nằm trong mặt phẳng tiếp tuyến của nó.

Bài tập: Cho M là không gian các ma trận thực nxn.

Xét các ánh xạ sau f(A)=det (A):M->R, g(A)=A.A^{t}:M->M. Tính đạo hàm của f,g và không gian tangent của các đa tạp xác định từ f,g.

[toilachinhtoi]

24) Đa tạp tích:
Cho hai đa tạp M_1 và M_2 với số chiều m_1 và m_2. Đa tạp tích, kí hiệu M_1xM_2 là tích Decart thông thường. Chart xác định như sau: Nếu http://dientuvietnam...ex.cgi?(u_1,U_1) là chart trong M_1, http://dientuvietnam...ex.cgi?(u_2,U_2) là chart trong M_2 thì http://dientuvietnam...imetex.cgi?(u,U)=(u_1xu_2,U_1xU_2),u(x_1,x_2)=(u_1(x_1),u_2(x_2)) là chart trong M_1xM_2.

Tangent space là http://dientuvietnam..._1x_{(f_1,N,f_2)}M_2 là tập hợp http://dientuvietnam..._1x_{(f_1,N,f_2)}M_2 cũng là một đa tạp.

Nếu gọi (v,V) là một chart của N thì http://dientuvietnam..._1x_{(f_1,N,f_2)}M_2=f^{-1}(0) ở đây http://dientuvietnam..._1x_{(f_1,N,f_2)}M_2 sẽ là một đa tạp nếu f_1 và f_2 là transervial theo nghĩa sau: http://dientuvietnam...tex.cgi?f_1(x_1)=f_2(x_2)=y.

Tangent space: Nếu http://dientuvietnam..._1x_{(f_1,N,f_2)}M_2 là một đa tạp thì
.

Ví dụ: Một ví dụ thông thường là đường chéo \in M\}" [/tex].

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toilachinhtoi: 23-04-2006 - 10:22

[quantum-cohomology]

về cái Diagonal space liệu toilachinhtoi nói thêm vài điều được không? Đây là nơi thường hay xẩy ra nhiều điều rối rắm phức tạp lắm.

[toilachinhtoi]

26) Đường chéo: http://dientuvietnam...etex.cgi?GL(n,R) được sinh từ các ma trận dạng http://dientuvietnam...etex.cgi?A_{ij} là phần phụ đại số của ma trận A.

g(A)=AA^{t}.
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?T_xf.X=Y.

Bài tập: Nếu http://dientuvietnam...tex.cgi?X_1,Y_1 và http://dientuvietnam...tex.cgi?X_2,Y_2 là f-related thì http://dientuvietnam...?[X_1,X_2] và http://dientuvietnam...?[Y_1,Y_2] là f-related.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toilachinhtoi: 23-04-2006 - 10:24

[toilachinhtoi]

29) Những tính chất thêm vào của những vector f-related:

Ta chứng minh tính chất trong mục 28. Ta có

http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X.f có thể định nghĩa tại từng điểm a, nghĩa là không phụ thuộc vào giá trị của trường vector X(x) tại những điểm http://dientuvietnam...?[X_1,X_2] tại điểm a ta phải biết giá trị của các trường vector http://dientuvietnam...metex.cgi?X_1(x),X_2(x) tại một lân cận của a. Đặc biệt ta không thể định nghĩa bracket chỉ tại một tangent space http://dientuvietnam...metex.cgi?T_aM. Lưu ý điều này khi định nghĩa bracket của một đại số Lie.

Tính chất thêm vào:

Nếu http://dientuvietnam...imetex.cgi?(X,Y) và X là http://dientuvietnam...gi?pr_1-related ở đây http://dientuvietnam...etex.cgi?Fl_t^X (xem mục 19).
Đạo hàm Lie định nghĩa như sau:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?L_Xf=Xf=T_xf.X.
Như vậy đạo hàm Lie chính là đạo hàm thông thường.

[tranminhlong]

Cho em hỏi, muốn học hình học vi phân thì cần có những kiến thức gì trước ạ ?

calculus, abstract topology, linear algebra, measure theory,... cần thiết việc nắm bắt nhanh các khái niệm cơ bản, các chứng minh... ( anh chỉ biết tới đó)