Đến nội dung

Hình ảnh

Sơ lược về hình học vi phân


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 37 trả lời

#21
toilachinhtoi

toilachinhtoi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
31) Một số tính chất của đạo hàm nhiều biến:

a) Kết quả phụ trong mục 28 có thể trích dẫn ra như sau:

Cho http://dientuvietnam...tex.cgi?X_1,X_2 là các vector field trong M, http://dientuvietnam...tex.cgi?Y_1,Y_2 là các vector field trong N thỏa http://dientuvietnam....cgi?Tf.X_i=Y_i hay rõ ràng hơn http://dientuvietnam...mimetex.cgi?h(y)=Tg.Y_2(y)=Y_2.g ta có
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?T_bM_2). Đặt
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?T_{a,b}f.(X,0)=T_ag.X.

Công thức này có thể chứng minh dễ dàng bằng mẹo thông thường là xét http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\tilde{f}. Nó chính là đạo hàm riêng theo hướng X. Tương tự cho trường hợp nhiều chiều M_1xM_2xM_3...

c) Quy tắc xích tổng quát:

Cho http://dientuvietnam...ex.cgi?Fl_0^X(x)=x, ta được điều phải chứng minh.

33) Bài tập: Cho http://dientuvietnam...ex.cgi?M=N=R^2. Trên M ta chọn tọa độ x,y và cơ sở của TM là http://dientuvietnam...091;X_1,X_2]=0. Kiểm chứng lại kết quả của mục 30 rằng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?[Y_1,Y_2]=0.
There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha

#22
Polytopie

Polytopie

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết
Hình vi phân có cuốn tiếng Đức rất hay, cơ bản là của Blaschke- tớ không biết cuốn này dịch sang tiếng Anh chưa. Còn tiếng Anh thì có nhiều cuốn đọc hay, về hình Riemann thì có mấy cuốn của Do Carmo, Eisenhart, Berger (tớ mới chỉ liếc qua mấy cuốn này) và dễ hơn là một cuốn của Frank Morgan, Do Carmo. Các bạn có quan tâm thì mai tớ về xem lại sẽ ghi ra danh sách cho. Hoặc các bạn chịu khó vào www.lookforbook.com search một cái là ra cả loạt, tha hồ down load xuống gặm dần.

Theo tớ- cách dễ nhất để tìm sách là vào http://amazon.com và search loại sách mình cần rồi xem feedback các cuốn ấy. Sau đó rồi, vào lookforbook copy về đọc.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Polytopie: 30-04-2006 - 18:21

Tôi tư duy nên Tôi không tồn tại.

#23
toilachinhtoi

toilachinhtoi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
To Polytopie: Bạn có thể liệt kê một số cuốn được không?

34) Một số khái niệm quan trọng trong hình học vi phân:

a) Submersion:
Ánh xạ http://dientuvietnam...cgi?M_y:=f^{(-1)}(y) gọi là một fiber (theo những kết quả trình bày trước đây ta có http://dientuvietnam...mimetex.cgi?M_y là một đa tạp với số chiều dim (M)-dim (N)). M gọi là total space, N gọi là base. Ví dụ: Xét M=TN.

c) Immersion:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?E_x là một không gian vector con của http://dientuvietnam...metex.cgi?T_xM. Ta gọi E là một distribution của M.

e) Smooth distribution:
Cho E là một distribution. Ta gọi http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?X là local vector field trên E nếu X là một local vector field trên M và http://dientuvietnam...?Ti.T_xN=E_{i(x)} với mọi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?N_{\alpha} một maximal integral manifold của E. Tập hợp tất cả http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M_{\alpha} gọi là foliation của E. Mỗi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M_{\alpha} gọi là một leaf của E.

Tính chất của leaf là như sau: Nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?x\M_{\alpha} với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?M_{\alpha} là một leaf của E, và X là một local vector field của E thì flow .
There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha

#24
toilachinhtoi

toilachinhtoi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
35) Sự định hướng của các đa tạp khả vi (Tham khảo: do Carmo: Riemannian geometry):

Ta nhắc lại rằng một chart là một homeomorphism http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(U_{\alpha}) của M và những chart tương ứng: http://dientuvietnam...,0],[B,A]] với http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R^3 thì M là co thể định hướng khi và chỉ khi M có một trường vécto pháp tuyến đơn vị ngoài (outer normal vector) (Ý nghĩa của từ field nghĩa là phải trơn toàn cục). Chứng minh điều này khá đơn giản: Xét một chart http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(u_{\alpha},U_{\alpha}) tùy ý và ta xét một cơ sở trực chuẩn của http://dientuvietnam...tex.cgi?e_1,e_2 của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?TU_{\alpha}. Ta bổ sung thêm một véc tơ http://dientuvietnam...mimetex.cgi?e_3 sao cho http://dientuvietnam...cgi?e_1,e_2,e_3 là một cơ sở trực chuẩn của http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R^3 và sao cho sự định hướng http://dientuvietnam...cgi?e_1,e_2,e_3 là dương. Bây giờ dùng giả thuyết là phép biến đổi tọa độ http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?e_1,e_2,e_3 lên những chart http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(u_{\beta},U_{\beta}) với sao cho hướng không đổi. Vì M compact nên ta có thể phủ bằng hữu hạn chart và xây dựng xong trường vecto pháp tuyến đơn vị ngoài. Mệnh đề ngược lại chứng minh tương tự.

Dùng ý nghĩa hình học này, ta có thể thấy một cách trực giác là băng Mobius không thể định hướng vì nó bị xoắn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toilachinhtoi: 09-06-2006 - 14:14

There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha

#25
quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết
Định nghĩa của TLCT đưa ra về Submersion hình như có vấn đề, hạng của ánh xạ là 1 số, còn không gian tiếp xúc là 1 không gian vector..

#26
Tran Dinh Thanh

Tran Dinh Thanh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 161 Bài viết

Định nghĩa của TLCT đưa ra về Submersion hình như có vấn đề, hạng của ánh xạ là 1 số, còn không gian tiếp xúc là 1 không gian vector..

Cả phần immersion nữa, chắc là do đánh sót.

#27
toilachinhtoi

toilachinhtoi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
To QC và TDT: thanks. Đúng là tôi gõ sai.
There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha

#28
toilachinhtoi

toilachinhtoi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
36) Universal covering space và những đa tạp thương: (Tham khảo: Allen Hatcher: Algebraic Topology)

Covering space:
Cho hai không gian topo X và Y. X gọi là covering space của Y nếu có môt ánh xạ http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?U_{\alpha} của Y sao cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?V_{\alpha\beta} là một họ các tập mở rời nhau của X sao cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\beta.

Universal covering space:
Cho Y là một không gian topo. X gọi là universal covering space của Y nếu X đơn liên. Xem link sau cho thêm chi tiết
http://en.wikipedia...._covering_space

Deck transformation: Nếu http://dientuvietnam....cgi?g_1.(g_2.x)=(g_1.g_2).x.

Discrete groups:
Xét một tác động nhóm G trên X. Tác động này gọi là discrete (có thể có những tên gọi khác chó tính chất này) nếu: Với mỗi http://dientuvietnam...metex.cgi?x=g(y). Ta xét không gian thương http://dientuvietnam...mimetex.cgi?X/G là không gian thương của mối quan hệ tương đương này. Nhắc lại cách xác định topo của một không gian thương: Xét không gian thương http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X/\sym. Khi đó topo thương trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X/\sym là topo thô nhất sao cho http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?p là liên tục, nói khác đi, V là mở trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X/\sym nếu và chỉ nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p^{-1}(V) là mở trong X.

Khi xét X là các đa tạp khả vi thì người ta thường xét trường hợp G là một nhóm con của những automorphisms của X.
There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha

#29
toilachinhtoi

toilachinhtoi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
37) Sự có thể định hướng của những đa tạp thương của những discrete groups:

Ta có kết quả sau (Bài tập 9a, Chap 0, do Carmo): Một đa tạp thương http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?U_{\alpha\beta}http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?U_{\alpha\gamma}, khi đó sẽ có http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?g(U_{\alpha\beta})=U_{\alpha\gamma}, do đó theo giả thuyết hai tập này cùng sự định hướng.

Chiều đảo: Ta làm ngược lại chiều thuận tức là định hướng các tập http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?U_{\alpha\beta} giống như sự định hướng của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?V_{\alpha}.
There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha

#30
toilachinhtoi

toilachinhtoi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
38) Một số đa tạp không định hướng được:

Ví dụ 1: (Băng Mobius-do Carmo.ví dụ 4.9 b trang 25): Cho S là hình trụ http://dientuvietnam...imetex.cgi?R^3. Băng Mobius là http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S/G với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?G=\{Id,A(p)\} và http://dientuvietnam...mimetex.cgi?A(p)=-p. Ta tính Jacobi của ánh xạ A(p). Ta có thể xét tọa độ trên S là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?J\tilde{A}=[[1,0],[0,-1]]. Do đó det J=-1, vậy ánh xạ A(p) không bảo toàn hướng. Do đó, theo mục 37 băng Mobius không định hướng được.

Ví dụ 2: (Bài tập 9c, page 33, do Carmo) Chứng minh rằng http://dientuvietnam...imetex.cgi?P^n® là có thể định hướng nếu và chỉ nếu n lẻ.

Giải: Nhắc lại định nghĩa http://dientuvietnam...imetex.cgi?P^n: http://dientuvietnam....cgi?P^n®=S^n/G với http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S^n là mặt cầu đơn vị trong http://dientuvietnam...tex.cgi?R^{n 1} và G giống như trong ví dụ 1. Ta biết rằng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S^n là có thể định hướng (thừa hưởng từ http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R^{n+1}). Ta sẽ tính Jacobi của ánh xạ A(p). Để xác định ta giả sử đang tính Jacobi tại điểm http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(0,0,...,0,1). Một chart quanh điểm này cho bởi công thức http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(-1)^{n-1}. Định thức này là dương (nghĩa là A(p) bảo toàn hướng), nếu và chỉ nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n-1 chẵn tức là n lẻ.
There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha

#31
bookworm_vn

bookworm_vn

    Đến từ sao Hỏa...

  • Thành viên
  • 1241 Bài viết
tớ có cuốn Cơ sở hình học vi phân của Neill nè, ai cần có thể tải về ở đây http://djvu.504.com1...4c36cac9e3.djvu. Vui vẻ nhé.

Mọt
<span style='color:blue'>You are my escape from tension!</span>

#32
T_T

T_T

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết
Em đang học hình học vi phân . Có bài tập này chẳng hiểu làm thế nào :D

Cho M là đa tạp Riemann , n chiều , metric Einstein . Chứng minh rằng độ cong vô hướng của đa tạp là hằng khi n>2 .
Metric Einstein là metric thỏa mãn tensor Ricci tỷ lệ với metric Riemann tại mỗi điểm của đa tạp .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi T_T: 02-09-2006 - 01:09


#33
toilachinhtoi

toilachinhtoi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
Em xem hướng dẫn bài tập 10 chương 4 trong cuốn sách "Riemannian Geometry " của do Carmo.
There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha

#34
T_T

T_T

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết
Để em tìm cuốn đó vậy . Em cám ơn anh nhiều :)

#35
T_T

T_T

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết
Cho em hỏi thêm câu này : anh có biết công thức tọa độ của toán tử đối vi phân không ah ? Công thức đối với đa tạp Riemann ,liên thông Riemann .
Em đọc một số sách thì họ chỉ có công thức đối với metric Euclide :(
Còn trên wiki thì nói chẳng rõ ràng gì cả :(
http://en.wikipedia..../Codifferential

#36
toilachinhtoi

toilachinhtoi

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 343 Bài viết
Em xem trong cuốn của Jeffrey Lee.
Hoặc em có thể tự tính như sau:
Nếu chúng ta xét một local chart http://dientuvietnam...gi?(x_1,...,x_n) thì ta có basis của tangent vectors http://dientuvietnam...gi?e_1,...,e_n. Trên http://dientuvietnam...etex.cgi?g^{ij} là ma trận nghịch đảo của metric g)

Volume form là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?w=\sqrt{|g_{ij}|}. Do đó từ công thức x^*y= ta viết được * theo tọa độ. Tiếp theo áp dụng công thức cho vi phân d (xem trang 211 trong Lee)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi toilachinhtoi: 09-09-2006 - 07:55

There is no way leading to happiness. Happiness is just the way.
The Buddha

#37
rarzip

rarzip

    Lính mới

  • Thành viên
  • 2 Bài viết
Em cũng học môn này mà sao thấy các anh nói ở đâu không vậy,các anh có thể nói về những kiến thức cơ bản cho em hiểu với được không

#38
TQFT

TQFT

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 67 Bài viết
Muốn hỏi cái gì thì phải mở topic ra chứ.
0-->Topology---->Geometry----->Moduli space---->0
Is it splitting?




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh