Chủ đề này có 2 trả lời

[Yagami Raito]

$\boxed{1}$. Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh 

  $$ \sum \dfrac{1}{2+a} \leq 1$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Yagami Raito: 24-01-2015 - 10:15

[canhhoang30011999]

$\boxed{1}$. Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh 

  $$ \sum \dfrac{1}{2+a} \leq 1$

biến đổi tương đương ta có

$abc+(ab+bc+ca)\geq4$(luôn đúng theo cô-si)

[dogsteven]

Đặt $a=\dfrac{x}{y}, b=\dfrac{y}{z}, c=\dfrac{z}{x}$. Ta có bất đẳng thức tương đương $\sum\limits_{cyc} \dfrac{x}{x+2y} \geqslant 1$ luôn đúng vì

$\sum\limits_{cyc} \dfrac{x}{x+2y}=\sum\limits_{cyc} \dfrac{x^2}{x^2+2xy} \geqslant \dfrac{(x+y+z)^2}{x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)}=1$