Chủ đề này có 1 trả lời

[ABiHo]

Cho 0 $\leqslant$ m $\leqslant$ k $\leqslant$ n và k,m,n $\in$ N

Chứng minh:

$C_{n}^{k}$.$C_{m}^{0}$ + $C_{n}^{k+1}$.$C_{m}^{1}$ + ... + $C_{n}^{k-m}$.$C_{m}^{m}$ = $C_{m+n}^{k}$

 Xin cám ơn !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ABiHo: 24-01-2015 - 16:07

[Forgive Yourself]

Cho 0 $\leqslant$ m $\leqslant$ k $\leqslant$ n và k,m,n $\in$ N

Chứng minh:

$C_{n}^{k}$.$C_{m}^{0}$ + $C_{n}^{k+1}$.$C_{m}^{1}$ + ... + $C_{n}^{k-m}$.$C_{m}^{m}$ = $C_{m+n}^{k}$

 Xin cám ơn !

 

Xét $(1+x)^{m+n}=C^0_{m+n}+C^1_{m+n}x+...+C^k_{m+n}x^k+...+C^{m+n}_{m+n}x^{m+n}$

 

Suy ra hệ số $x^k$ là $C^k_{m+n}$

 

Mà $(1+x)^{m+n}=(1+x)^m(1+x)^n=(C^0_m+C^1_mx+...+C^k_mx^k+...+C^m_mx^m)(C^0_n+C^1_nx+...+C^k_nx^k+...+C^n_nx^n)$

 

Khi nhân hai đa thức trên ta thấy số hạng chứa $x^k$ có dạng:

 

$(C^0_mC^k_n+C^1_mC^{k-1}_n+...+C^m_mC^{k-m}_n)x^k$

 

Hai đa thức trên đồng nhất nên hệ số của số hạng chứa $x^k$ phải bằng nhau, tức là:

 

$C^0_mC^k_n+C^1_mC^{k-1}_n+...+C^m_mC^{k-m}_n=C^k_{m+n}$ ($đpcm$)