Chủ đề này có 3 trả lời

[Duy PTNK]

Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm ngoại tiếp O. AO cắt (O) tại A'; A'H cắt (O) tại A₁ và AH cắt (O) tại A₂; các cặp điểm B₁, B₂ và     C₁, C₂ được xác định tương tự. Chứng minh rằng A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂ đồng quy.

[ChiLanA0K48]

Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm ngoại tiếp O. AO cắt (O) tại A'; A'H cắt (O) tại A₁ và AH cắt (O) tại A₂; các cặp điểm B₁, B₂ và     C₁, C₂ được xác định tương tự. Chứng minh rằng A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂ đồng quy.

Bài này vẫn đúng với trường hợp hai điểm đẳng giác liên hợp bất kì trong tam giác nên mình xin phép mở rộng một chút thế này:

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. $M,N$ là hai điểm đẳng giác liên trong tam giác.. $AM$ cắt $(O)$ tại $A'$. $AN$ cắt $(O)$ tại $A_1$. $A'N$ cắt $(O)$ tại $A_2$.  Tương tự có $B_1,B_2,C_1,C_2$

Chứng minh rằng $A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2$ đồng qui.

Bài giải:

Trước hết ta cần bổ đề:

Cho tam giác $ABC$. $M,N$ là hai điểm đẳng giác liên hợp của tam giác. $AM$ cắt $(O)$ tại $A'$. $A'N$ cắt $BC$ tại $D$. Chứng minh rằng $MD$ song song $AN$.

(Bổ đề này mình có bài chứng minh nhưng thực sự thấy nó hơi dài nên rất mong các bạn chứng minh giúp nếu bí quá mình sẽ gửi link chứng minh sau )

 

Trở lại bài toán:

Phát hiện ra điểm đồng qui thuộc $MN$ (đường nối hai điểm đẳng giác liên hợp)

Do đó ta sẽ đi chứng minh ba đường cùng đi qua một điểm thuộc $MN$

Gọi $P$ là giao điểm $MN$ và $A_1A_2$

Gọi $D$ là giao điểm $A'N$ với $BC$. Gọi $J$ là giao điểm $MD$ với $A_1A_2$

Áp dụng bổ đề đã nêu trên suy ra $MJ$ song song $A_1N$

Áp dụng ĐL $Thales$ suy ra $\frac{PN}{PM}=\frac{A_1N}{JM}$

Dễ chứng minh được tứ giác $A_2JA'M$ nội tiếp suy ra $DA_2.DA'=DJ.DM$

Mặt khác $A2BA'C$ cùng thuộc đườn tròn $(O)$

suy ra $DB.DC=DA_2.DA'$

suy ra $DB.DC=DJ.DM$ suy ra $BJCM$ nội tiếp suy ra $\angle MBC=\angle MJC$ suy ra $\angle NBA=\angle MJC$

suy ra $\angle AA_1B_1=\angle MJC$

suy ra $JC$ song song $A_1B_1$

Gọi $P'$ là giao của $MN$ với $B_1B_2$

Gọi $E$ là giao của $B'N$ với $AC$. Gọi $I$ là giao của $ME$ với $B_1B_2$

Chứng minh tương tự như trên

suy ra $\frac{P'N}{P'M}=\frac{B_1N}{IM}$

và $IC$ song song $A_1B_1$

suy ra $IJ$ song song $A_1B_1$

cũng thấy tam giác $A_1NB_1$ và $MJI$ là hai tam giác đồng dạng (tam giác có cạnh tương ứng song song)

suy ra $\frac{A_1N}{MJ}=\frac{B_1N}{MI}$

suy ra $P,P'$ trùng nhau

Chứng minh tương tự suy ta $A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2, MN$ đồng qui

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChiLanA0K48: 25-01-2015 - 19:51

[Duy PTNK]

gửi link đi bạn

[Duy PTNK]

Bài này vẫn đúng với trường hợp hai điểm đẳng giác liên hợp bất kì trong tam giác nên mình xin phép mở rộng một chút thế này:

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$. $M,N$ là hai điểm đẳng giác liên trong tam giác.. $AM$ cắt $(O)$ tại $A'$. $AN$ cắt $(O)$ tại $A_1$. $A'N$ cắt $(O)$ tại $A_2$.  Tương tự có $B_1,B_2,C_1,C_2$

Chứng minh rằng $A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2$ đồng qui.

Bài giải:

Trước hết ta cần bổ đề:

Cho tam giác $ABC$. $M,N$ là hai điểm đẳng giác liên hợp của tam giác. $AM$ cắt $(O)$ tại $A'$. $A'N$ cắt $BC$ tại $D$. Chứng minh rằng $MD$ song song $AN$.

(Bổ đề này mình có bài chứng minh nhưng thực sự thấy nó hơi dài nên rất mong các bạn chứng minh giúp nếu bí quá mình sẽ gửi link chứng minh sau )

 

Trở lại bài toán:

Phát hiện ra điểm đồng qui thuộc $MN$ (đường nối hai điểm đẳng giác liên hợp)

Do đó ta sẽ đi chứng minh ba đường cùng đi qua một điểm thuộc $MN$

Gọi $P$ là giao điểm $MN$ và $A_1A_2$

Gọi $D$ là giao điểm $A'N$ với $BC$. Gọi $J$ là giao điểm $MD$ với $A_1A_2$

Áp dụng bổ đề đã nêu trên suy ra $MJ$ song song $A_1N$

Áp dụng ĐL $Thales$ suy ra $\frac{PN}{PM}=\frac{A_1N}{JM}$

Dễ chứng minh được tứ giác $A_2JA'M$ nội tiếp suy ra $DA_2.DA'=DJ.DM$

Mặt khác $A2BA'C$ cùng thuộc đườn tròn $(O)$

suy ra $DB.DC=DA_2.DA'$

suy ra $DB.DC=DJ.DM$ suy ra $BJCM$ nội tiếp suy ra $\angle MBC=\angle MJC$ suy ra $\angle NBA=\angle MJC$

suy ra $\angle AA_1B_1=\angle MJC$

suy ra $JC$ song song $A_1B_1$

Gọi $P'$ là giao của $MN$ với $B_1B_2$

Gọi $E$ là giao của $B'N$ với $AC$. Gọi $I$ là giao của $ME$ với $B_1B_2$

Chứng minh tương tự như trên

suy ra $\frac{P'N}{P'M}=\frac{B_1N}{IM}$

và $IC$ song song $A_1B_1$

suy ra $IJ$ song song $A_1B_1$

cũng thấy tam giác $A_1NB_1$ và $MJI$ là hai tam giác đồng dạng (tam giác có cạnh tương ứng song song)

suy ra $\frac{A_1N}{MJ}=\frac{B_1N}{MI}$

suy ra $P,P'$ trùng nhau

Chứng minh tương tự suy ta $A_1A_2,B_1B_2,C_1C_2, MN$ đồng qui

gửi link đi bạn