Chủ đề này có 3 trả lời

[smush06]

$\sqrt[3]{ \sqrt[5]{ \frac{32}{5} } - \sqrt[5]{ \frac{27}{5} } } = \sqrt[5]{ \frac{1}{25} } + \sqrt[5]{ \frac{3}{25} } - \sqrt[5]{ \frac{9}{25} }$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi smush06: 25-01-2015 - 09:58

[Mori Ran]

Chứng minh hả bạn ?

[smush06]

Ừ bạn ạ! Mình định tách ra nhưng chắc không phải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi smush06: 25-01-2015 - 09:55

[huykinhcan99]

$\sqrt[3]{ \sqrt[5]{ \frac{32}{5} } - \sqrt[5]{ \frac{27}{5} } } = \sqrt[5]{ \frac{1}{25} } + \sqrt[5]{ \frac{3}{25} } - \sqrt[5]{ \frac{9}{25} }$

 

Ta cần chứng minh

\begin{equation} \label{eq:1} \sqrt[3]{ \sqrt[5]{ \frac{32}{5} } - \sqrt[5]{ \frac{27}{5} } } = \sqrt[5]{ \frac{1}{25} } + \sqrt[5]{ \frac{3}{25} } - \sqrt[5]{ \frac{9}{25} } \end{equation}

 

Đầu tiên ta cần loại bớt mẫu của các phân thức. Nhân hai vế của \eqref{eq:1} với $\sqrt[5]{25}$ ta có:

\begin{align} \eqref{eq:1} & \ \Leftrightarrow \sqrt[5]{25}.\sqrt[3]{\dfrac{\sqrt[5]{32}-\sqrt[5]{27}}{\sqrt[5]{5}}}=1+\sqrt[5]{3}-\sqrt[5]{9} \nonumber \\ & \ \Leftrightarrow \sqrt[3]{\sqrt[5]{\dfrac{15625}{5}}.\left(\sqrt[5]{32}-\sqrt[5]{27}\right)}=1+\sqrt[5]{3}-\sqrt[5]{9} \nonumber \\ & \ \Leftrightarrow \sqrt[3]{5\left(2-\sqrt[5]{27}\right)}=1+\sqrt[5]{3}-\sqrt[5]{9} \nonumber \\ \label{eq:2} & \ \Leftrightarrow \sqrt[3]{10-5\sqrt[5]{27}}=1+\sqrt[5]{3}-\sqrt[5]{9} \end{align}

 

Đặt $\sqrt[5]{3}=a$, ta sẽ có:

\begin{align} \eqref{eq:2} & \ \Leftrightarrow \sqrt[3]{10-5a^3}=1+a-a^2 \nonumber \\ & \ \Leftrightarrow 10-5a^3=\left(1+a-a^2\right)^3 \nonumber \\ & \ \Leftrightarrow 10-5a^3=\left(1+a\right)^3-3\left(1+a\right)^2+3\left(1+a\right)a^4-a^6 \nonumber \\ & \ \Leftrightarrow 10-5a^3=1+3a+3a^2+a^3-3a^2-6a^3-3a^4+3a^4+3a^5-a^6 \nonumber \\ \label{eq:3} & \ \Leftrightarrow 10-5a^3=\left(1+3a^5\right)+\left(3a-a^6\right) -5a^3 \end{align}

 

Với chú ý rằng $1+3a^5=1+3.\left(\sqrt[5]{3}\right)^5=3.3=1+9=10$ và $3a-a^6=a\left(3-a^5\right)=a\left[ 3-\left(\sqrt[5]{3}\right)^5 \right]=a\left(3-3\right)=0$, ta thấy rằng \eqref{eq:3} luôn đúng. Từ đó ta suy ra \eqref{eq:1} luôn đúng. Đó chính là điều phải chứng minh $\left(\blacksquare\right)$