Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{(3a+1)^{2}}{6a^{2}-2a+1}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
henry0905

henry0905

    Trung úy

  • Thành viên
  • 892 Bài viết

Cho $a,b,c\geq 0, a+b+c=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất:

$\sum \frac{(3a+1)^{2}}{6a^{2}-2a+1}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 25-01-2015 - 17:38


#2
tim1nuathatlac

tim1nuathatlac

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 298 Bài viết

Cho $a,b,c\geq 0, a+b+c=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất:

$\sum \frac{(3a+1)^{2}}{6a^{2}-2a+1}$

 

Do tính đối xứng của đẳng thức, ta giả sử:   $a\geq b\geq c$

 

Ta có :

$P=\sum \frac{\left ( 3a+1 \right )^{2}}{6a^{2}-2a+1}\geq ^{C-S}\frac{\left ( 3a+1 \right )^{2}}{6a^{2}-2a+1}+\frac{\left [ 3\left ( b+c \right )+2 \right ]^{2}}{6\left ( b^{2}+c^{2} \right )-2\left ( b+c \right )+2 }$

 

$\geq \frac{\left ( 3a+1 \right )^{2}}{6a^{2}-2a+1}+\frac{\left ( 5-3a \right )^{2}}{6\left ( 1-a \right )^{2}-2\left ( 1-a \right )+2}=\frac{\left ( 3a+1 \right )^{2}}{6a^{2}-2a+1}+\frac{\left ( 5-3a \right )^{2}}{6a^{2}-10a+6}=Q$

 

 

 

Đến đây, ta dự đoán Min P đạt được khi $a=1$ , Nên ta cần chỉ ra được 

 

$Q\geq \frac{26}{5}\Leftrightarrow \left [ \frac{\left ( 3a+1 \right )^{2}}{6a^{2}-2a+1} -\frac{16}{5}\right ]+\left [ \frac{\left ( 5-3a \right )^{2}}{6a^{2}-10a+6}-2 \right ]\geq 0$

 

Với $a\left [ \frac{1}{3};1 \right ]$.

 

Thật vậy, ta cớ bđt tương đương là: 

 

$\left ( 1-a \right )\left [ \frac{51a-11}{5\left ( 6a^{2}-2a+1 \right )}+\frac{3a+13}{6a^{2}-10a+6} \right ]\geq 0$

 

                                                                                                                                                   luôn đúng.....$\square \square \blacksquare$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tim1nuathatlac: 26-01-2015 - 22:34



#3
henry0905

henry0905

    Trung úy

  • Thành viên
  • 892 Bài viết

Do tính đối xứng của đẳng thức, ta giả sử:   $a\geq b\geq c$

 

Ta có :

$P=\sum \frac{\left ( 3a+1 \right )^{2}}{6a^{2}-2a+1}\geq ^{C-S}\frac{\left ( 3a+1 \right )^{2}}{6a^{2}-2a+1}+$$\frac{\left [ 3\left ( b+c \right )+2 \right ]^{2}}{6\left ( b^{2}+c^{2} \right )-2\left ( b+c \right )+2 }$

 

$\geq \frac{\left ( 3a+1 \right )^{2}}{6a^{2}-2a+1}+$$\frac{\left ( 5-3a \right )^{2}}{6\left ( 1-a \right )^{2}-2\left ( 1-a \right )+2}$$=\frac{\left ( 3a+1 \right )^{2}}{6a^{2}-2a+1}+\frac{\left ( 5-3a \right )^{2}}{6a^{2}-10a+6}=Q$

 

 

 

Đến đây, ta dự đoán Min P đạt được khi $a=1$ , Nên ta cần chỉ ra được 

 

$Q\geq \frac{26}{5}\Leftrightarrow \left [ \frac{\left ( 3a+1 \right )^{2}}{6a^{2}-2a+1} -\frac{16}{5}\right ]+\left [ \frac{\left ( 5-3a \right )^{2}}{6a^{2}-10a+6}-2 \right ]\geq 0$

 

Với $a\left [ \frac{1}{3};1 \right ]$.

 

Thật vậy, ta cớ bđt tương đương là: 

 

$\left ( 1-a \right )\left [ \frac{51a-11}{5\left ( 6a^{2}-2a+1 \right )}+\frac{3a+13}{6a^{2}-10a+6} \right ]\geq 0$

 

                                                                                                                                                   luôn đúng.....$\square \square \blacksquare$

$\frac{1}{b^{2}+c^{2}}\leq \frac{2}{(b+c)^{2}}=\frac{2}{(1-a)^{2}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 26-01-2015 - 23:14





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh