1)
$\widehat{MAN} =\widehat{MAB} +\widehat{NAD}$
<=>$2 .\widehat{MAN} =\widehat{MAB} +\widehat{MAN} +\widehat{NAD} =90^\circ$
<=>$\widehat{MAN} =45^\circ$ (1)
trên tia đối tia DC lấy điểm E sao cho $\widehat{DAE} =\widehat{BAM}$
EM cắt AN ở F
ta có $\widehat{EAN} =\widehat{EAD} +\widehat{NAD}$
$=\widehat{BAM} +\widehat{NAD} =\widehat{MAN}$ (2)
có $\triangle ADE =\triangle ABM$ (g, c, g)
=>AE =AM
=>tg AEM cân tại A, mà có AN là phân giác (vì có (2))
=>AN vuông góc EM
có $\widehat{EFD} =\widehat{EAD}$ (vì AFDE nội tiếp)
$=\widehat{MAB} =\widehat{MFB}$ (vì ABMF nội tiếp)
=>F, D, B thẳng hàng
=>F trùng P
=>$\widehat{APM} =90^\circ$ mà có (1)
=>APM vuông cân tại P, tương tự AQN vuông cân tại Q
=>$\widehat{PNQ} =\widehat{PMQ} $ (đều =$45^\circ$)
=>MQPN nội tiếp =>$\widehat{APQ} =\widehat{AMN}$
=>$\triangle APQ \sim\triangle AMN$ (g, g)
=>$\frac{S_{APQ}}{S_{AMN}} =(\frac{AP}{AM})^2$
mà APM vuông cân =>$\frac{AP}{AM} =\frac{1}{\sqrt{2}}$
=>$\frac{S_{APQ}}{S_{AMN}} =\frac{1}{2}$
<=>$\frac{S_{APQ}}{S_{AMN} -S_{APQ}} =\frac{1}{2 -1}$
<=>$\frac{S_{APQ}}{S_{PQMN}} =1$ (đpcm)
