Cho tam giác ABC ngoai tiếp đường tròn tâm O, bán kính r. Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn tâm O lần lượt song song với các cạnh của tam giác ABC tạo thành ba tam giác mới( có 2 cạnh của tam giác ABC và cạnh thứ ba là tiếp tuyến với đường tròn tâm O, // với cạnh còn lai). Gọi r1, r2, r3 lần lượt là bán kính các đường tròn nội tiếp của các tam giác mới đó. C/m: r = r1 + r2 + r3.
(Xin các bạn giải theo phương pháp của lớp 11 tức là dùng các phêp như vị tự ...)
#1
Đã gửi 25-01-2015 - 18:06
#2
Đã gửi 07-02-2015 - 16:02
Tiếp tuyến (O) //BC cắt AC, AB tại $A_1, A_2$
t tuyến (O) //AC cắt BA, BC tại $B_1, B_2$
t tuyến (O) //AB cắt CB, CA tại $C_1, C_2$
gọi $(O_1), (O_2), (O_3)$ là các đường tròn nội tiếp $AA_1A_2, BB_1B_2, CC_1C_2$
$(O_1)$ tiếp xúc AB tại E, (O) tiếp xúc AB tại F
ta có AC đối xứng với $B_1B_2$ qua O, $A_1A_2$ đối xứng với BC qua O
mà $A_1$ là giao điểm AC, $A_1A_2$, $B_2$ là giao điểm $B_1B_2$, BC
=>$A_1, B_2$ đối xứng nhau qua O
=>O là trung điểm $A_1B_2$
c minh tương tự, O là trung điểm $C_2B_1$
=>$A_1B_1B_2C_2$ là hình bình hành
=>$A_1C_2 =B_1B_2$ (1)
Ta có $\triangle AA_1A_2 \sim\triangle ACB$
=>thực hiện phép vị tự tâm A tỷ lệ $\frac{AA_1}{AC}$ ta có:
$C ->A_1, B ->A_2, O ->O_1, F ->E$
=>$\frac{O_1E}{OF} =\frac{r_1}{r} =\frac{AA_1}{AC}$ (2)
c minh tương tự ta có
$\frac{r_2}{r} =\frac{BB_1}{BA} =\frac{B_1B_2}{AC}$
$ =\frac{A_1C_2}{AC}$ (do có (1))(3)
tương tự, $\frac{r_3}{r} =\frac{CC_1}{CB} =\frac{CC_2}{CA}$ (4)
cộng (2, 3, 4) vế theo vế ta được
$\frac{r_1 +r_2 +r_3}{r} =\frac{AA_1 +A_1C_2 +CC_2}{AC} =\frac{AC}{AC} =1$
=>$r =r_1 +r_2 +r_3$ (đpcm)
- duyenduyen yêu thích
(Cách chứng minh một bài toán dựng hình là không thể dựng được bằng thước và compa?????)
(Giúp với Tính $\int_m^n\left(\sqrt{ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e}\right) dx$)
(Tam giác ABC cân tại A, lấy D trên cạnh BC, r1,r2 là bán kính nội tiếp ABD, ACD. Xác định vị trí D để tích r1.r2 lớn nhất )
(Nhấn nút "Thích" thay cho lời cám ơn, nút Thích nằm cuối mỗi bài viết, đăng nhập để nhìn thấy nút Thích)
(Giúp với Tính $\int_m^n\left(\sqrt{ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e}\right) dx$)
(Tam giác ABC cân tại A, lấy D trên cạnh BC, r1,r2 là bán kính nội tiếp ABD, ACD. Xác định vị trí D để tích r1.r2 lớn nhất )
(Nhấn nút "Thích" thay cho lời cám ơn, nút Thích nằm cuối mỗi bài viết, đăng nhập để nhìn thấy nút Thích)
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Chứng minh PQ.CB=DC.QN và O là trung điểm của PQ.Bắt đầu bởi nonamebroy, 18-04-2024 hình học |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.Bắt đầu bởi Phuockq, 07-04-2024 hình học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
Chứng minh B,M,N,C đồng viênBắt đầu bởi VGNam, 22-02-2024 hình học |
|
|||
Solved
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
Chứng minh ba điểm E, F, H thẳng hàng.Bắt đầu bởi Saturina, 16-02-2024 hình học |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Hình học →
a) Chứng minh rằng K thuộc đường tròn đường kính BC . b) Chứng minh rằng IMC KGJ 45oBắt đầu bởi Saturina, 16-02-2024 hình học |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh