Chủ đề này có 1 trả lời

[oncepice1]

Cho tam giác ABC ngoai tiếp đường tròn tâm O, bán kính r. Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn tâm O lần lượt song song với các cạnh của tam giác ABC tạo thành ba tam giác mới( có 2 cạnh của tam giác ABC và cạnh thứ ba là tiếp tuyến với đường tròn tâm O, // với cạnh còn lai). Gọi r1, r2, r3 lần lượt là bán kính các đường tròn nội tiếp của các tam giác mới đó. C/m: r = r1 + r2 + r3.
(Xin các bạn giải theo phương pháp của lớp 11 tức là dùng các phêp như vị tự ...)

[vkhoa]

Tiếp tuyến (O) //BC cắt AC, AB tại $A_1, A_2$

t tuyến (O) //AC cắt BA, BC tại $B_1, B_2$

t tuyến (O) //AB cắt CB, CA tại $C_1, C_2$

gọi $(O_1), (O_2), (O_3)$ là các đường tròn nội tiếp $AA_1A_2, BB_1B_2, CC_1C_2$

$(O_1)$ tiếp xúc AB tại E, (O) tiếp xúc AB tại F

ta có AC đối xứng với $B_1B_2$ qua O, $A_1A_2$ đối xứng với BC qua O

mà $A_1$ là giao điểm AC, $A_1A_2$, $B_2$ là giao điểm $B_1B_2$, BC

=>$A_1, B_2$ đối xứng nhau qua O

=>O là trung điểm $A_1B_2$

c minh tương tự, O là trung điểm $C_2B_1$

=>$A_1B_1B_2C_2$ là hình bình hành

=>$A_1C_2 =B_1B_2$ (1)

Ta có $\triangle AA_1A_2 \sim\triangle ACB$

=>thực hiện phép vị tự tâm A tỷ lệ $\frac{AA_1}{AC}$ ta có:

$C ->A_1, B ->A_2, O ->O_1, F ->E$

=>$\frac{O_1E}{OF} =\frac{r_1}{r} =\frac{AA_1}{AC}$ (2)

c minh tương tự ta có 

$\frac{r_2}{r} =\frac{BB_1}{BA} =\frac{B_1B_2}{AC}$

$ =\frac{A_1C_2}{AC}$ (do có (1))(3)

tương tự, $\frac{r_3}{r} =\frac{CC_1}{CB} =\frac{CC_2}{CA}$ (4)

cộng (2, 3, 4) vế theo vế ta được

$\frac{r_1 +r_2 +r_3}{r} =\frac{AA_1 +A_1C_2 +CC_2}{AC} =\frac{AC}{AC} =1$

=>$r =r_1 +r_2 +r_3$ (đpcm)

Hình gửi kèm

•