Chủ đề này có 1 trả lời

[Dinh Xuan Hung]

Cho x,y thuộc Z thỏa mãn $\frac{1-x^2}{1+y}+\frac{1-y^2}{1+x}$ thuộc Z.Chứng minh rằng:$(x^2y^2-1)\vdots (x+1)$

[Hoang Long Le]

Cho x,y thuộc Z thỏa mãn $\frac{1-x^2}{1+y}+\frac{1-y^2}{1+x}$ thuộc Z.Chứng minh rằng:$(x^2y^2-1)\vdots (x+1)$

Đặt $(\frac{1-x^2}{1+y},\frac{1-y^2}{1+x})=(\frac{a}{b},\frac{c}{d})$ với $a,b,c,d\in \mathbb{Z};(a,b)=1;(c,d)=1$

Khi đó $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=k(k\in \mathbb{Z})$

Suy ra $ad+bc=bdk$

$\left\{\begin{matrix} bc\vdots d\\ ad\vdots b \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix} b\vdots d\\ d\vdots b \end{matrix}\right.\rightarrow b=d$

Mà $\frac{ac}{bd}=(x-1)(y-1)\in \mathbb{Z}\rightarrow ac\vdots bd\rightarrow ac\vdots b\rightarrow c\vdots b\rightarrow c\vdots d\rightarrow d=1\rightarrow 1-y^2\vdots 1+x$

Ta có: $x^2y^2-1=x^2(y^2-1)+x^2-1\vdots x+1\rightarrow Q.E.D$