Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi kiểm tra chuyên tháng 1-Ý Yên Nam Định


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
yeutoanmaimai1

yeutoanmaimai1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 295 Bài viết

Câu 1

a, cho số thực x thỏa mãn $x^{2}-x-1=0$ Tính giá trị của biểu thức $A=\frac{x^{6}-3x^{5}+3x^{4}-x^{3}+2015}{x^{6}-x^{3}-3x^{2}-3x+2015}$

b, cho x,y là các số hữu tỉ thỏa mãn $x^{3}-y^{3}=2xy$ Chứng minh rằng $\sqrt{1+xy}$ là số hữu tỉ

Câu 2

a, giải phương trình $\sqrt{x+1}+\sqrt{5x}=\sqrt{4x-3}+\sqrt{2x+4}$

b, giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{2}(4y+1)-2y=-3 & \\ & x^{2}(x^{2}-12y)+4y^{2}=9 \end{matrix}\right.$

Câu 3

a, tìm các số nguyên x,y thỏa mãn $x^{3}+y^{3}-3xy=1$

b, chứng minh nếu n nguyên dương thì $25^{n}+7^{n}-4^{n}(3^{n}+5^{n})\vdots 65$

Câu 4

cho hình vuông ABCD cạnh là a. trên AD,CD lấy M,N sao cho $\widehat{MBN}$=45. BM và BN cắt AC tại E,F.

a, chứng minh MEFN nội tiếp

b, MF cắt NE ở H,BH cắt MN ở I.tính BI theo a

c, tìm vị trí M,N để diện tích DMN lớn nhất

Câu 5

cho a,b,c>0.chứng minh $\frac{a^{4}}{b+c}+\frac{b^{4}}{a+c}+\frac{c^{4}}{a+b}\geq \frac{1}{2}(a^{3}+b^{3}+c^{3})$



#2
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

Bài 5.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $\dfrac{a^4}{b+c}+\dfrac{a^2(b+c)}{4}\geqslant a^3$

Tương tự ta có: $LHS \geqslant a^3+b^3+c^3-\dfrac{a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)}{4}$

Do đó ta cần chứng minh $a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)\leqslant 2(a^3+b^3+c^3)$

Hướng 1: Bất đẳng thức tương đương với $[3,0,0]\ge [2,1,0]$ luôn đúng theo Muirhead

Hướng 2: Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $a^3+a^3+b^3+a^3+b^3+b^3 \geqslant 3a^2b+3ab^2$, tương tự rồi cộng lại.

Hướng 3: Giả sử $a\geqslant b\geqslant c$ thì đặt $a=c+x+y, b=c+y$. Bất đẳng thức giờ là: $4c(x^2+xy+y^2)+2x^3+5x^2y+3xy^2+2y^3\geqslant 0$ luôn đúng do $c,x,y\geqslant 0$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#3
hoctrocuaZel

hoctrocuaZel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1162 Bài viết
 

Câu 5

cho a,b,c>0.chứng minh $\frac{a^{4}}{b+c}+\frac{b^{4}}{a+c}+\frac{c^{4}}{a+b}\geq \frac{1}{2}(a^{3}+b^{3}+c^{3})$

Hứng câu hình (quá quen thuộc) + bất :D

Kg mất tính tổng quát,$a\geq b\geq c\rightarrow \left\{\begin{matrix} a^4\geq b^4\geq c^4\\ \frac{1}{b+c}\geq \frac{1}{a+c}\geq \frac{1}{a+b} \end{matrix}\right.$

Áp dụng BĐT Chebesep, được:

$VT\geq \frac{1}{3}\sum a^4.\frac{9}{2(a+b+c)}$

Do đó, cần CM: $3.\sum a^4\geq \sum a.\sum a^3\Leftrightarrow 2.\sum a^4\geq \sum ab^3+\sum a^3b$

Luon đúng vì $a^4+ab^3+a^4\geq 3.a^3b$

Kết thúc chứng minh :D

 


Hướng TH Phan
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
:(

#4
dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết

 

 

Hứng câu hình (quá quen thuộc) + bất :D

Kg mất tính tổng quát,$a\geq b\geq c\rightarrow \left\{\begin{matrix} a^4\geq b^4\geq c^4\\ \frac{1}{b+c}\geq \frac{1}{a+c}\geq \frac{1}{a+b} \end{matrix}\right.$

Áp dụng BĐT Chebesep, được:

$VT\geq \frac{1}{3}\sum a^4.\frac{9}{2(a+b+c)}$

Do đó, cần CM: $3.\sum a^4\geq \sum a.\sum a^3\Leftrightarrow 2.\sum a^4\geq \sum ab^3+\sum a^3b$

Luon đúng vì $a^4+ab^3+a^4\geq 3.a^3b$

Kết thúc chứng minh :D

 

 

Nếu đã hứng áp dụng Chebyshev thì đoạn tô đỏ ở trên áp dụng Chebyshev luôn cho nhanh hơn.


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#5
Mary Huynh

Mary Huynh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 116 Bài viết

Câu 1Câu 2

a, giải phương trình $\sqrt{x+1}+\sqrt{5x}=\sqrt{4x-3}+\sqrt{2x+4}$

Điều kiện : $x \geq \frac{3}{4}$

$PT \Leftrightarrow x+1 +5x+2\sqrt{5x(x+1)}= 4x-3+2x +4+\sqrt{(4x-3)(2x+4)}$

$\Leftrightarrow \sqrt{5x(x+1)}=\sqrt{(4x-3)(2x+4)}$

$\Leftrightarrow 3x^{2}+5x-12 =0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix}x=-3 \\ x=\frac{4}{3} \end{bmatrix}$ (tmđk)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mary Huynh: 01-02-2015 - 11:43

Giá trị thật sự của con người phải được xác định theo chiều hướng được tự do và không tùy thuộc bất cứ ai       :like  :like  :like 

                                                                                                                                          _________Albert Einstein________         

 My FB

 

 





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh