Chủ đề này có 2 trả lời

[nguocchieukimdongho]

Chứng minh rằng trong 1 tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền =1/2 cạnh huyền

[nhok vo doi]

Chứng minh rằng trong 1 tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền =1/2 cạnh huyền

[huykinhcan99]

 

Lấy $D$ đối xứng với $A$ qua $M$. 

 

Xét $\triangle ABM$ và $\triangle CDM$, ta có:

$$\left. \begin{array}{l} \widehat{M_1}=\widehat{M_2} \quad (\text{đối đỉnh}) \\ MB=MC\left(=\dfrac{1}{2}BC\right) \\ MA=MD\left(=\dfrac{1}{2}AD\right) \end{array} \right\} \Rightarrow \triangle ABM = \triangle DCM \text{ (c.g.c)}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} AB=CD \\ \widehat{A_1}=\widehat{D_1} \end{array} \right.$$

 

Mặt khác, ta có:

\begin{align*} &\widehat{A_1}+\widehat{A_2} =\widehat{BAC} =90^\circ \\ \Leftrightarrow \ & \widehat{D_1}+\widehat{A_2} =90^\circ \\ \Leftrightarrow \ & 180^\circ -\left(\widehat{D_1}+\widehat{A_2}\right) =180^\circ-90^\circ \\ \Leftrightarrow \ & \widehat{ACD} =90^\circ \quad \left(\text{ tổng ba góc trong của $\triangle ACD$}\right) \end{align*}

 

Xét $\triangle ABC$ và $\triangle ACD$, ta có:

$$\left. \begin{array}{l} \widehat{BAC}=\widehat{ACD} \left(=90^\circ \right) \\ AB=CD \left(\text{cmt}\right) \\ AC \text{ chung} \end{array} \right\} \Rightarrow \triangle ABC = \triangle CDA \text{ (c.g.c)} \Rightarrow BC=AD$$

Mà theo cách dựng điểm $D$: $MA=MD=\dfrac{1}{2}AD$

Từ đó ta suy ra $AM=\dfrac{1}{2}BC$

Hay là trong 1 tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng $\dfrac{1}{2}$ cạnh huyền.

Chứng minh hoàn tất tại đây. $(\blacksquare)$