Cho 3 số a,b,c dương có tổng bằng 1. CM
$\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4c^2+1}\frac{c}{4a^2+1} \geq (a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^2$
$\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4c^2+1}\frac{c}{4a^2+1} \geq (a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^2$
Bắt đầu bởi zzhanamjchjzz, 28-01-2015 - 17:50
#2
Đã gửi 28-01-2015 - 19:20
Hoang Long Le
-
- Thành viên
-
- 265 Bài viết
Thượng sĩ
Cho 3 số a,b,c dương có tổng bằng 1. CM
$\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4c^2+1}\frac{c}{4a^2+1} \geq (a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^2$
Áp dụng BĐT Schwarz: $\sum \frac{a}{4b^2+1}=\sum \frac{a^3}{4a^2b^2+a^2}\geq \frac{(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^2}{4\sum a^2b^2+\sum a^2}$
Ta cần c/m :$4\sum a^2b^2+\sum a^2\leq 1=(a+b+c)^2\Leftrightarrow 4\sum a^2b^2\leq \sum ab\Leftrightarrow \sum ab(1-4ab)\geq 0$
Mà ta luôn có: $1-4ab\geq 1-(a+b)^2\geq 0$
Vậy ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi $(a,b,c)=(0,0,1)$ và các hoán vị
- hoanglong2k yêu thích
IM LẶNG
#3
Đã gửi 28-01-2015 - 19:25
Nguyen Minh Hai
-
- Thành viên
-
- 666 Bài viết
Thiếu úy
Áp dụng BĐT Schwarz: $\sum \frac{a}{4b^2+1}=\sum \frac{a^3}{4a^2b^2+a^2}\geq \frac{(a\sqrt{a}+b\sqrt{b}+c\sqrt{c})^2}{4\sum a^2b^2+\sum a^2}$
Ta cần c/m :$4\sum a^2b^2+\sum a^2\leq 1=(a+b+c)^2\Leftrightarrow 4\sum a^2b^2\leq \sum ab\Leftrightarrow \sum ab(1-4ab)\geq 0$
Mà ta luôn có: $1-4ab\geq 1-(a+b)^2\geq 0$
Vậy ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi $(a,b,c)=(0,0,1)$ và các hoádduwojcw k?
Chỗ dùng BĐT Schwarz liệu có xảy ra dấu = k?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Minh Hai: 28-01-2015 - 19:25
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
