Với 3 số dương $x,y,z$ và $x+y+z=1$.Tìm max
$\frac{x}{x+\sqrt{x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{y+xz}}+\frac{z}{z+\sqrt{z+xy}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mikhail Leptchinski: 28-01-2015 - 20:52
$\frac{x}{x+\sqrt{x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{y+xz}}+\frac{z}{z+\sqrt{z+xy}}$
Bắt đầu bởi congdan9aqxk, 28-01-2015 - 18:31
#2
Đã gửi 28-01-2015 - 22:40
le_hoang1995
-
- Thành viên
-
- 314 Bài viết
Sĩ quan
Với 3 số dương $x,y,z$ và $x+y+z=1$.Tìm max
$\frac{x}{x+\sqrt{x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{y+xz}}+\frac{z}{z+\sqrt{z+xy}}$
Theo BĐT cauchy-schwarz ta có
$x+\sqrt{x+yz}=x+\sqrt{x^2+xy+xz+yz}=x+\sqrt{(x+y)(z+x)} \geq x+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}=\sqrt{x}.(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})$
Vậy $VT=\sum \frac{x}{x+\sqrt{x+yz}}\leq \sum \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\frac{1}{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi le_hoang1995: 28-01-2015 - 22:43
- Mary Huynh yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
