Chủ đề này có 5 trả lời

[dogsteven]

Bài 1. [Dùng tam thức bậc 2] Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b,c$ ta luôn có: $(a^2+b^2+c^2)^2 \geqslant 3(a^3b+b^3c+c^3a)$

Bài 2. [Chỉ dùng biến đổi tương đương và không được dùng AM-GM] Cho các số không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=3$. Chứng minh:

$$\dfrac{x^2}{x+y^2}+\dfrac{y^2}{y+z^2}+\dfrac{z^2}{z+x^2} \geqslant \dfrac{3}{2}$$

Bài 3. Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c>0$ và $a\geqslant b\geqslant c$. Chứng minh:

$$\dfrac{3(c-a)^2}{4(a+b+c)}\leqslant a+b+c-3\sqrt[3]{abc}\leqslant \dfrac{9(c-a)^2}{4(a+b+c)}$$

Lưu ý: Nếu vào trong này giải bài thì không ghi tiếng anh nếu không phải ngoại quốc.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 28-01-2015 - 19:37

[Hoang Long Le]

Bài 1. [Dùng tam thức bậc 2] Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b,c$ ta luôn có: $(a^2+b^2+c^2)^2 \geqslant 3(a^3b+b^3c+c^3a)$

 

Lưu ý: Nếu vào trong này giải bài thì không ghi tiếng anh nếu không phải ngoại quốc.

Việt-sub ngay

Đặt $c=a+x;b=a+y$

Khi đó: $(a^2+b^2+c^2)^2-3(a^3b+b^3c+c^3a)=(x^2-xy+y^2)a^2+(x^3-5x^2y+4xy^2+y^3)a+x^4-3x^3y+y^4+2x^2y^2$

   Xét $f(a)=(x^2-xy+y^2)a^2+(x^3-5x^2y+4xy^2+y^3)a+x^4-3x^3y+y^4+2x^2y^2$

   $\Delta = (x^3-5x^2y+4xy^2+y^3)^2-4(x^2-xy+y^2)(x^4+2x^2y^2+y^4-3x^3y)=-3(x^3+y^3-x^2y-2xy^2)^2 \le 0$

Lại có $x^2-xy+y^2=(x-\frac{y}{2})^2+\frac{3y^2}{4}\geq 0$

Nên $f(a) \geq 0$

( Biến đổi tốn giấy đọa :v )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Long Le: 29-01-2015 - 20:07

[le_hoang1995]

 

Bài 2. [Chỉ dùng biến đổi tương đương và không được dùng AM-GM] Cho các số không âm $x,y,z$ thỏa mãn $x+y+z=3$. Chứng minh:

$$\dfrac{x^2}{x+y^2}+\dfrac{y^2}{y+z^2}+\dfrac{z^2}{z+x^2} \geqslant \dfrac{3}{2}$$

Lưu ý: Nếu vào trong này giải bài thì không ghi tiếng anh nếu không phải ngoại quốc.

Ta có $$\sum \frac{x^2}{x+y^2}=\sum \left ( x-\frac{xy^2}{x+y^2} \right )\geq \sum \left ( x-\frac{xy^2}{2y\sqrt{x}} \right )=\sum \left ( x-\frac{y\sqrt{x}}{2} \right )=3-\frac{y\sqrt{x}+z\sqrt{y}+x\sqrt{z}}{2}$$

Theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có $$y\sqrt{x}+z\sqrt{y}+x\sqrt{z}\leq \sqrt{(xy+yz+zx)(y+z+x)}\leq \sqrt{\frac{(x+y+z)^2}{3}.(x+y+z)}=3$$

Vậy $$VT\geq 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$

[dogsteven]

Ta có $$\sum \frac{x^2}{x+y^2}=\sum \left ( x-\frac{xy^2}{x+y^2} \right )\geq \sum \left ( x-\frac{xy^2}{2y\sqrt{x}} \right )=\sum \left ( x-\frac{y\sqrt{x}}{2} \right )=3-\frac{y\sqrt{x}+z\sqrt{y}+x\sqrt{z}}{2}$$

Theo BĐT Cauchy-Schwarz ta có $$y\sqrt{x}+z\sqrt{y}+x\sqrt{z}\leq \sqrt{(xy+yz+zx)(y+z+x)}\leq \sqrt{\frac{(x+y+z)^2}{3}.(x+y+z)}=3$$

Vậy $$VT\geq 3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$

Em đã ghi rõ là không dùng AM-GM rồi mà.

[dogsteven]

Việt-sub ngay

Không mất tính tổng quát, giả sử $c=min\begin{Bmatrix}a,b,c\end{Bmatrix}$

Đặt $a=c+x;b=c+y$

Khi đó: $(a^2+b^2+c^2)^2-3(a^3b+b^3c+c^3a)=(x^2-xy+y^2)c^2+(x^3-5x^2y+4xy^2+y^3)c+x^4-3x^3y+y^4+2x^2y^2$

   Xét $f(c)=(x^2-xy+y^2)c^2+(x^3-5x^2y+4xy^2+y^3)c+x^4-3x^3y+y^4+2x^2y^2$

   $\Delta = (x^3-5x^2y+4xy^2+y^3)^2-4(x^2-xy+y^2)(x^4+2x^2y^2+y^4-3x^3y)=-3(x^3+y^3-x^2y-2xy^2)^2 \le 0$

Lại có $x^2-xy+y^2=(x-\frac{y}{2})^2+\frac{3y^2}{4}\geq 0$

Nên $f(c) \geq 0$

( Biến đổi tốn giấy đọa :v )

Điều kiện $c=\text{min}\{a,b,c\}$ là thừa rồi. Còn cái tốn giấy nếu lười làm thì lên wolframalpha.com factor nó ra :v (hay làm thế)

[Hoang Long Le]

Bài 3. Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c>0$ và $a\geqslant b\geqslant c$. Chứng minh:

$$\dfrac{3(c-a)^2}{4(a+b+c)}\leqslant a+b+c-3\sqrt[3]{abc}\leqslant \dfrac{9(c-a)^2}{4(a+b+c)}$$

Lưu ý: Nếu vào trong này giải bài thì không ghi tiếng anh nếu không phải ngoại quốc.

Thử với $a=b=1$ và $c=0$ là thấy sai ngay