CMR với mọi số nguyên tố p thì pp + 1 + (p + 1)p ko là số chính phương.
p mũ p+1 + p+1 mũ p ko là scp
#1
Đã gửi 28-01-2015 - 21:38
#2
Đã gửi 28-01-2015 - 21:58
CMR với mọi số nguyên tố p thì pp + 1 + (p + 1)p ko là số chính phương.
giả sử tồn tại số nguyên tố $p$ thỏa đề.
với $p=2$ thì thấy thỏa đề với $p\geq 3$ thì đặt $p^{p+1}+(p+1)^p=a^2 \ (a\in \mathbb{N}^*)$
$\Leftrightarrow \left ( a+p^{\frac{p+1}{2}} \right )\left ( a-p^{\frac{p+1}{2}} \right )=(p+1)^p=(2uv)^p$ với $p+1=2uv,(u,v)=1$ $(1)$
ta nhận xét
$\blacksquare$ $a+p^{\frac{p+1}{2}}$ và $a-p^{\frac{p+1}{2}}$ cùng chia hết cho $2$ nhưng không cùng chia hết cho $4$ $(2)$
thật vậy nếu $a+p^{\frac{p+1}{2}}\equiv a-p^{\frac{p+1}{2}}\equiv 0(mod \ 4)\Rightarrow 2p^{\frac{p+1}{2}}\equiv 0(mod \ 4)\Rightarrow 2\mid p$ điều này vô lí
$\blacksquare$ $a+p^{\frac{p+1}{2}},a-p^{\frac{p+1}{2}}$ chỉ có ước chung thật sự là $2$ $(3)$
thật vậy nếu $d\mid \left ( a+p^{\frac{p+1}{2}},a-p^{\frac{p+1}{2}} \right )$ mà $d>2$ thì $d\mid 2p^{\frac{p+1}{2}}\Rightarrow d\mid p$ điều này vô lí
từ $(1),(2),(3)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+p^{\frac{p+1}{2}}=2^{p-1}u^p\\a-p^{\frac{p+1}{2}}=2v^p \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} a+p^{\frac{p+1}{2}}=2v^p\\a-p^{\frac{p+1}{2}}=2^{p-1}u^p \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow p^{\frac{p+1}{2}}=\left | 2^{p-2}u^p-v^p \right |\Rightarrow 2^{p-2}u^p\equiv v^p(mod \ p)$
mà $\left\{\begin{matrix} u^p\equiv u(mod \ p)\\v^p\equiv v(mod \ p) \\2^{p-1}\equiv 1(mod\ p) \end{matrix}\right.\Rightarrow u\equiv 2v(mod \ p)$
mà $p+1=2uv\Rightarrow p>u,2v\Rightarrow u=2v\Rightarrow u=2,v=1\Rightarrow p=3\Leftarrow a^2=145$
điều này vô lí do đó có $Q.E.D$
U-Th
- Dung Du Duong và halloffame thích
Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh
#3
Đã gửi 28-01-2015 - 22:07
Bạn cho mình hỏi : Vì sao lại đặt p + 1 = 2uv mà không phải là 2k ? Ý tưởng ở đây là gì vậy ?
Sự học như con thuyền ngược dòng nước, không tiến ắt phải lùi.
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh