Chủ đề này có 2 trả lời

[halloffame]

CMR với mọi số nguyên tố p thì p^{p + 1} + (p + 1)^p ko là số chính phương.

[nhungvienkimcuong]

CMR với mọi số nguyên tố p thì p^{p + 1} + (p + 1)^p ko là số chính phương.

giả sử tồn tại số nguyên tố $p$ thỏa đề.

với $p=2$ thì thấy thỏa đề với $p\geq 3$ thì đặt $p^{p+1}+(p+1)^p=a^2 \ (a\in \mathbb{N}^*)$

$\Leftrightarrow \left ( a+p^{\frac{p+1}{2}} \right )\left ( a-p^{\frac{p+1}{2}} \right )=(p+1)^p=(2uv)^p$ với $p+1=2uv,(u,v)=1$              $(1)$

ta nhận xét

$\blacksquare$ $a+p^{\frac{p+1}{2}}$ và $a-p^{\frac{p+1}{2}}$ cùng chia hết cho $2$ nhưng không cùng chia hết cho $4$              $(2)$

thật vậy nếu $a+p^{\frac{p+1}{2}}\equiv a-p^{\frac{p+1}{2}}\equiv 0(mod \ 4)\Rightarrow 2p^{\frac{p+1}{2}}\equiv 0(mod \ 4)\Rightarrow 2\mid p$ điều này vô lí

$\blacksquare$ $a+p^{\frac{p+1}{2}},a-p^{\frac{p+1}{2}}$ chỉ có ước chung thật sự là $2$                                                                  $(3)$

thật vậy nếu $d\mid \left ( a+p^{\frac{p+1}{2}},a-p^{\frac{p+1}{2}} \right )$ mà $d>2$ thì $d\mid 2p^{\frac{p+1}{2}}\Rightarrow d\mid p$ điều này vô lí

từ $(1),(2),(3)\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a+p^{\frac{p+1}{2}}=2^{p-1}u^p\\a-p^{\frac{p+1}{2}}=2v^p \end{matrix}\right.\vee \left\{\begin{matrix} a+p^{\frac{p+1}{2}}=2v^p\\a-p^{\frac{p+1}{2}}=2^{p-1}u^p \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow p^{\frac{p+1}{2}}=\left | 2^{p-2}u^p-v^p \right |\Rightarrow 2^{p-2}u^p\equiv v^p(mod \ p)$

mà $\left\{\begin{matrix} u^p\equiv u(mod \ p)\\v^p\equiv v(mod \ p) \\2^{p-1}\equiv 1(mod\ p) \end{matrix}\right.\Rightarrow u\equiv 2v(mod \ p)$

mà $p+1=2uv\Rightarrow p>u,2v\Rightarrow u=2v\Rightarrow u=2,v=1\Rightarrow p=3\Leftarrow a^2=145$

điều này vô lí do đó có $Q.E.D$

 

U-Th

[halloffame]

Bạn cho mình hỏi : Vì sao lại đặt p + 1 = 2uv mà không phải là 2k ? Ý tưởng ở đây là gì vậy ?