Bài 1: Tìm nghiệm nguyên dương của pt
b, $2^{x}+1=3^{y}$
Bài 2: tìm nghiệm nguyên của pt
a, $x^{2}+y^{2}=1999$
b, $x_1^{3}+x_2^{3}+x_3^{3}=304*1975*195*1995$ với $x_1*x_2*x_3$ không chia hết cho 3
c, $\frac{5}{3}x-y=\sqrt{3x+2}-\sqrt{2y-1}-1$
Bài 1:
b) $2^x+1=3^y\equiv 0$ (mod 3) nên $x$ lẻ
+) Nếu $x\geq 4$. Khi đó $3^y\equiv 1$ (mod 16)
Xét các TH $y=4k,4k+1,4k+2,4k+3$ ( $k\in\mathbb{N}$) ta thấy $y=4k$ ( $k\neq 0$) là thỏa mãn
Khi đó $2^x=3^{4k}-1\equiv 0$ (mod 5) (vô lý)
Do đó $x<4$. Mà $x$ lẻ nên $x=1,3$. Thế vào tìm $y$
Bài 2:
a) Một số chính phương chia $4$ có dư là $0,1$ nên $x^2+y^2\equiv 0,1,2$ (mod 4)
Mà $1999\equiv 3$ (mod 4) nên phương trình vô nghiệm
b) Đặt $(x_1,x_2,x_3)=(a,b,c)$ ( cho dễ viết )
Khi đó từ điều kiện đề bài suy ra $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ac)$ chia hết cho $3$ nên $a+b+c$ chia hết cho $3$
Do đó $(a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ca)$ chia hết cho $9$. Điều này vô lý vì theo đk thì $a^3+b^3+c^3$ chia hết cho $9$ nhưng $3abc$ không chia
hết cho $9$