Chủ đề này có 8 trả lời

[halloffame]

Gọi S là tập các số nguyên dương n là ước của a²⁵ - a với mọi a nguyên. Hãy tìm số phần tử của S.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 28-01-2015 - 22:57

[tanlsth]

Gọi S là tập các số nguyên dương n là ước của a²⁵ - a với mọi a nguyên. Hãy tìm số phần tử của S.

 

Để giải bài toán này ta sử dụng tính chất sau

Với một số nguyên tố $p$ bất kì, luôn tồn tại một số $a$ sao cho $p-1$ là số $x$ nhỏ nhất thoả mãn $a^{x}-1$ chia hết cho $p$

Dễ dàng chứng minh kết quả này bằng cách để ý số nghiệm của phương trình không vượt quá số mũ.

 

Nhận thấy với mọi $a$ thì $a^{25}-a$ đều chia hết cho $p$ với $p=2,3,5,7,13$ và sử dụng kết quả trên thì ngoài các số nguyên tố này sẽ không còn số nào là ước của tất cả các số dạng $a^{25}-a$ nữa.

 

Mặt khác với $a=p$ thì $a^{25}-a$ không chia hết cho $p^2$, do đó số phần tử của $S$ là $2^{5}=32$

[halloffame]

Bài này đáp số là 31 chứ

[taideptrai]

Để giải bài toán này ta sử dụng tính chất sau

Với một số nguyên tố $p$ bất kì, luôn tồn tại một số $a$ sao cho $p-1$ là số $x$ nhỏ nhất thoả mãn $a^{x}-1$ chia hết cho $p$

Dễ dàng chứng minh kết quả này bằng cách để ý số nghiệm của phương trình không vượt quá số mũ.

 

Nhận thấy với mọi $a$ thì $a^{25}-a$ đều chia hết cho $p$ với $p=2,3,5,7,13$ và sử dụng kết quả trên thì ngoài các số nguyên tố này sẽ không còn số nào là ước của tất cả các số dạng $a^{25}-a$ nữa.

 

Mặt khác với $a=p$ thì $a^{25}-a$ không chia hết cho $p^2$, do đó số phần tử của $S$ là $2^{5}=32$

tớ thấy không ổn, với a=2015! chẳng hạn

[tanlsth]

Bài này đáp số là 31 chứ

Mình nhầm chút vì tính cả phần tử 1 trong đó, nên đáp án phải là $2^5-1=31$ như bạn nói

[chanhquocnghiem]

Bài này đáp số là 31 chứ

 

 

Mình nhầm chút vì tính cả phần tử 1 trong đó, nên đáp án phải là $2^5-1=31$ như bạn nói

Nếu là như vậy, tại sao khi $a=2$ thì $a^{25}-a=2^{25}-2=33554430=2.3^2.5.7.13.17.241$ lại có đến $2^6.3=192$ ước nguyên dương ???

Nhân tiện xin nói thêm, chỉ có những số có thể viết dưới dạng $p^{30}$ với $p$ là số nguyên tố mới có đúng $31$ ước nguyên dương.

[halloffame]

Bạn chanhquocnghiem hiểu sai ý của đề   Ở đây là tìm số các số n là ước a²⁵ - a với mọi a nguyên. Trong số 192 ước của số 33554430 sẽ có một số số không phải là ước của số 3²⁵ - 3, nên không được liệt vào tập S. Do đó đáp số bài không phải là 192 mà là 31   

[chanhquocnghiem]

Bài này đáp số là 31 chứ

 

 

Mình nhầm chút vì tính cả phần tử 1 trong đó, nên đáp án phải là $2^5-1=31$ như bạn nói

Nếu hiểu theo cách đó thì với mọi $a$ nguyên dương, $a^{25}-a$ chia hết cho $2.3.5.7.13=2730$ $\Rightarrow$ số phần tử của tập $S$ chính là số ước nguyên dương của $2730$, tức là bằng $2^5=32$ chứ (không cần phải loại trừ số $1$ vì $1$ cũng là số nguyên dương mà)

[halloffame]

Do ban đầu trong đề có điều kiện $n>1$ nhưng sau đó mình đã sửa lại.