Chủ đề này có 1 trả lời

[halloffame]

Xét n là 1 số tự nhiên không đổi và p là 1 ước nguyên tố bất kì của n. Gọi a là 1 số tự nhiên dương bất kì. CM các mệnh đề sau là tương đương:

i) aⁿ - a chia hết cho n ( với mọi a tự nhiên thì aⁿ - a chia hết cho n)

ii) n không chia hết cho p² và n - 1 chia hết cho p - 1 ( với mọi ước n/tố p của n thì .....)

[tanlsth]

Xét n là 1 số tự nhiên không đổi và p là 1 ước nguyên tố bất kì của n. Gọi a là 1 số tự nhiên dương bất kì. CM các mệnh đề sau là tương đương:

i) aⁿ - a chia hết cho n ( với mọi a tự nhiên thì aⁿ - a chia hết cho n)

ii) n không chia hết cho p² và n - 1 chia hết cho p - 1 ( với mọi ước n/tố p của n thì .....)

 

Chứng minh (i) => (ii)

Gọi $p$ là một ước số nguyên tố bất kì của $n$, ta sẽ chứng minh tồn tại $a$ sao cho $a^n-a$ không chia hết cho $p^2$

(Edit: Đoạn này có thể chọn luôn $a=p$)

Giả sử không tồn tại $a$ như vậy, xét $(a+p)^n-(a+p)=(a^n-a)+p\left(\sum_{k=2}^{n}C_{n}^{k}p^{k-1}a^{n-k} + na^{n-1}-1\right)$, nhận thấy biểu thức này không chia hết cho $p^2$, vô lý. Suy ra $n$ không chia hết cho $p^2$

Tiếp theo, chọn một số $1 \leq a \leq p-1$ thoả mãn $a^{\frac{p-1}{2}} - 1$ không chia hết cho $p$, tức $p-1$ là số nhỏ nhất thoả mãn $a^x-1$ chia hết cho p.

Mặt khác $a^{n-1}-1$ chia hết cho $p$, suy ra $n-1$ chia hết $p-1$

 

Chứng minh (ii) => (i)

Đặt $n=p_1p_2...p_k$ với $p_i$ là các số nguyên tố phân biệt, với số $a$ bất kì, ta chỉ cần chứng minh $a^n-a$ chia hết cho $p_i$ là đủ

Nếu $a$ chia hết $p_i$, ta có điều hiển nhiên

Nếu $a$ nguyên tố cùng nhau với $p_i$, $a^{n-1}-1$ chia hết $a^{p_i-1}-1$ và chia hết cho $p_i$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tanlsth: 31-01-2015 - 19:04