Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng $\sum \frac{1}{a(1+b)}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}\left ( \sqrt[3]{abc}+1 \right )}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Michael Potter

Michael Potter

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết

Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh

$\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{abc}(\sqrt[3]{abc}+1)}$

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 30-01-2015 - 21:32


#2
Lee LOng

Lee LOng

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 174 Bài viết

$Đặt a=k.\frac{x}{y},b=k.\frac{y}{z},c=k.\frac{z}{x}$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{a(1+b)}=\sum \frac{yz}{k^{2}xy+kxz}$

$Ta có:$

$(k^{2}\sum xy +k\sum xy).\sum \frac{yz}{k^{2}xy+kxz}\geq (xy+yz+xz)^{2}$
$\Rightarrow \sum \frac{yz}{k^{2}xy+kxz}\geq \frac{(xy+yz+xz)^{2}}{\frac{k^{2}(xy+yz+xy)^{2}}{3}+\frac{k(xy+yz+xz)^{2}}{3}}=\frac{3}{k^{2}+k}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lee LOng: 30-01-2015 - 18:09





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh