Với a,b,c,d là các số không âm. Chứng minh các BĐT sau:
1~ Cho: $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}+\frac{1}{1+d}= 3$
CMR: $abcd\leq \frac{1}{81}$
2~ $\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )\geq \left ( 1+\sqrt[3]{abc} \right )^{3}$
3~ $\left ( a^{2} +b^{2}+c^{2}\right )\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c} +\frac{1}{c+a}\right )\geq \frac{3}{2}\left ( a+b+c \right )$
1) Từ giả thiết suy ra
$\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\leq 1-\frac{a}{a+1}=\frac{1}{a+1}$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số không âm ta có
$\frac{1}{a+1}\geq \frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{bcd}{(b+1)(c+1)(d+1)}}$
Tương tự
$\frac{1}{b+1}\geq \frac{a}{a+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{acd}{(a+1)(c+1)(d+1)}}$
$\frac{1}{c+1}\geq \frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{d}{d+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abd}{(a+1)(b+1)(d+1)}}$
$\frac{1}{d+1}\geq \frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(b+1)(c+1)(a+1)}}$
Nhân từng vế bốn bất đẳng thức, ta được $1\geq 81abcd$ nên $abcd\leq \frac{1}{81}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Duc Phu: 31-01-2015 - 23:03