4 replies to this topic

[lymiu]

Với a,b,c,d là các số không âm. Chứng minh các BĐT sau:

 

1~     Cho: $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}+\frac{1}{1+d}= 3$

         CMR:      $abcd\leq \frac{1}{81}$

 

 

2~    $\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )\geq \left ( 1+\sqrt[3]{abc} \right )^{3}$

 

 

3~    $\left ( a^{2} +b^{2}+c^{2}\right )\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c} +\frac{1}{c+a}\right )\geq \frac{3}{2}\left ( a+b+c \right )$

[Nguyen Duc Phu]

Với a,b,c,d là các số không âm. Chứng minh các BĐT sau:

 

1~     Cho: $\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}+\frac{1}{1+d}= 3$

         CMR:      $abcd\leq \frac{1}{81}$

 

 

2~    $\left ( 1+a \right )\left ( 1+b \right )\left ( 1+c \right )\geq \left ( 1+\sqrt[3]{abc} \right )^{3}$

 

 

3~    $\left ( a^{2} +b^{2}+c^{2}\right )\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c} +\frac{1}{c+a}\right )\geq \frac{3}{2}\left ( a+b+c \right )$

1) Từ giả thiết suy ra

$\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\leq 1-\frac{a}{a+1}=\frac{1}{a+1}$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số không âm ta có

$\frac{1}{a+1}\geq \frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{bcd}{(b+1)(c+1)(d+1)}}$

Tương tự

$\frac{1}{b+1}\geq \frac{a}{a+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{acd}{(a+1)(c+1)(d+1)}}$

$\frac{1}{c+1}\geq \frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{d}{d+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abd}{(a+1)(b+1)(d+1)}}$

$\frac{1}{d+1}\geq \frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(b+1)(c+1)(a+1)}}$

Nhân từng vế bốn bất đẳng thức, ta được $1\geq 81abcd$ nên $abcd\leq \frac{1}{81}$

Edited by Nguyen Duc Phu, 31-01-2015 - 23:03.

[Nguyen Duc Phu]

2)BĐT tương đương:

$a+b+c+ab+bc+ac\geq 3(\sqrt[3]{abc})^2+3\sqrt[3]{abc}$

Áp dụng bđt AM-GM cho 3 số không âm, ta có:

$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$

$ab+bc+ca\geq 3(\sqrt[3]{abc})^2$

Suy ra điều phải chứng minh.

[Hoang Long Le]

Với a,b,c,d là các số không âm. Chứng minh các BĐT sau:

 

 

3~    $\left ( a^{2} +b^{2}+c^{2}\right )\left ( \frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c} +\frac{1}{c+a}\right )\geq \frac{3}{2}\left ( a+b+c \right )$

Sử dụng AM-GM và Cauchy-Schwarz 

$VT\geq \frac{1}{3}(a+b+c)^2.(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c} +\frac{1}{c+a})=\frac{1}{6}(a+b+c)[(a+b)+(b+c)+(c+a)](\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c} +\frac{1}{c+a})\geq \frac{9}{6}(a+b+c)=\frac{3}{2}(a+b+c)$

[dogsteven]

Bài 2. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

$\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{1+b}+\dfrac{1}{1+c} \geqslant \dfrac{3}{\sqrt[3]{(1+a)(1+b)(1+c)}}$

$\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{b}{1+b}+\dfrac{c}{1+c} \geqslant \dfrac{3\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{(1+a)(1+b)(1+c)}}$

$\Rightarrow 3\geqslant \dfrac{3(1+\sqrt[3]{abc})}{\sqrt[3]{(1+a)(1+b)(1+c)}} \Leftrightarrow (1+a)(1+b)(1+c) \geqslant (1+\sqrt[3]{abc})^3$