Chủ đề này có 2 trả lời

[nhungvienkimcuong]

cho $p$ là số nguyên tố mà $p\equiv 2(mod \ 3)$.Đặt $A=x^4+x^2y^2+y^4$

CMR nếu $p\mid A$ thì $p^4\mid A$

 

U-Th

[tanlsth]

cho $p$ là số nguyên tố mà $p\equiv 2(mod \ 3)$.Đặt $A=x^4+x^2y^2+y^4$

CMR nếu $p\mid A$ thì $p^4\mid A$

 

U-Th

Đặt $p = 3k + 2, u=x^2, v=y^2$. Nếu $u$ hoặc $v$ chia hết cho $p$ thì ta có điều phải chứng minh

 

Nếu $(u,p)=(v,p)=1$

$(u-v)A = u^3-v^3$ chia hết cho $p$, do đó $u^{3k}-v^{3k}$ cũng chia hết cho $p$

Mặt khác theo định lý Fecma thì $u^{3k+1} \equiv v^{3k+1} (mod p)$

Từ 2 điều này suy ra $u \equiv v \equiv 0 (mod p)$, và ta có điều phải chứng minh

[nhungvienkimcuong]

Đặt $p = 3k + 2, u=x^2, v=y^2$. Nếu $u$ hoặc $v$ chia hết cho $p$ thì ta có điều phải chứng minh

 

Nếu $(u,p)=(v,p)=1$

$(u-v)A = u^3-v^3$ chia hết cho $p$, do đó $u^{3k}-v^{3k}$ cũng chia hết cho $p$

Mặt khác theo định lý Fecma thì $u^{3k+1} \equiv v^{3k+1} (mod p)$

Từ 2 điều này suy ra $u \equiv v \equiv 0 (mod p)$, và ta có điều phải chứng minh

nhìn cách làm của thầy làm em có ý tưởng

 

cho $p$ là số nguyên tố mà $p\equiv 2(mod \ 3)$.Đặt $A=x^4+x^2y^2+y^4$

CMR nếu $p\mid A$ thì $p^4\mid A$

 

U-Th

đặt $a=x^2,b=y^2$ thì ta có $p\mid a^2+ab+b^2$

giả sử $a,b \not \vdots p$ ta có $p\mid 4(a^2+ab+b^2)=(2a+b)^2+3b^2$

$\Rightarrow \left ( \frac{-3b^2}{p} \right )=1\Rightarrow 1=\left ( \frac{-3}{p} \right )=\left ( \frac{-1}{p} \right )\left ( \frac{3}{p} \right )=\left ( -1 \right )^{\frac{p-1}{2}}\left ( \frac{3}{p} \right )$

$\Rightarrow \left ( \frac{3}{p} \right )=\left ( -1 \right )^{\frac{p-1}{2}}$

mặt khác theo định luật tương hổ $Gauss$ thì $\left ( \frac{3}{p} \right )\left ( \frac{p}{3} \right )=\left ( -1 \right )^{\frac{(p-1)(3-1)}{4}}=\left ( -1 \right )^{\frac{p-1}{2}}\Rightarrow \left ( \frac{p}{3} \right )=1$               $(*)$

mà $p\equiv 2(mod \ 3)\Rightarrow \left ( \frac{p}{3} \right )=\left ( \frac{2}{p} \right )\equiv 2^{\frac{3-1}{2}}\equiv -1(mod\ 3)$

điều này mẫu thuẫn $(*)$ nên giả sử  vô lí do đó $p\mid a,b$ do đó có $Q.E.D$

 

U-Th