ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Kỳ thi vòng loại Olympic Toán sinh viên năm học 2014 - 2015
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Môn thi: Đại số và Giải tích
--------------------------------------------------------------------- Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề
$\boxed{\text{ĐỀ CHÍNH THỨC}}$
Môn thi: ĐẠI SỐ
Câu 1: Cho ma trận $A$ là ma trận đối xứng thực, vuông cấp $n$. Giả sử rằng
$$A^{5}+A^{3}+A=3I_{n}$$
Chứng minh rằng $A=I_{n}$.
Câu 2: Khẳng định sau đây đúng hay không? Tại sao?
"Mọi ma trận $A$ vuông, cấp $2$ trên $\mathbb{C}$ luôn tồn tại ma trận $B$ sao cho $B^{2}=A$."
Câu 3: Cho $P, Q \in M_{n}(\mathbb{R})$. Giả sử rằng $P^{2} = P, Q^{2} = Q$ và $I_{n} - (P+Q)$ khả nghịch. Chứng minh rằng $rank(P)=rank(Q)$.
Câu 4: Cho ma trận
$$T=\begin{pmatrix} a_1& b_1& 0& 0& \cdots& 0& 0\\ b_1& a_2& b_2& 0& \cdots& 0& 0\\ 0& b_2& a_3& b_3& \cdots& 0& 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0& 0& 0& 0&\cdots &a_{n-1} &b_{n-1} \\ 0& 0& 0& 0&\cdots &b_{n-1} & a_{n} \end{pmatrix}$$
Giả sử rằng $b_j \neq 0$, với mọi $j$. Chứng minh rằng:
a. $rank(T) \geq n-1$.
b. $T$ có $n$ trị riêng khác nhau.
Câu 5: Cho ma trận thực $X$ vuông cấp $2n$ như sau
$$\begin{pmatrix} A &B \\ C & D \end{pmatrix},$$
trong đó $A, B, C$ và $D$ là các ma trận thực vuông cấp $n$. Giả sử rằng các ma trận này giao hoán với nhau. Chứng minh rằng ma trận $X$ khả nghịch nếu và chỉ nếu $AD-BC$ khả nghịch.
Câu 6: Cho $f_{1}, f_{2}, \cdots f_{n}$ là những hàm số thực liên tục trên $[a, b]$. Chứng minh rằng $\begin{Bmatrix} f_1, f_2, \cdots, f_n \end{Bmatrix}$ phụ thuộc tuyến tính trên $[a, b]$ nếu và chỉ nếu
$$\det(A) = 0,$$
trong đó
$$[A]_{ij}=\int_{a}^{b}f_{i}(x)f_{j}(x)d(x), 1 \leq i, j\leq n$$.
Môn thi: GIẢI TÍCH
Câu 1: Chứng minh rằng không tồn tại hàm liên tục $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho $f(\mathbb{R})=\mathbb{Q}$, với $\mathbb{Q}$ là tập hợp các số hữu tỷ.
Câu 2: Cho hàm số thực $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{+}$ thỏa mãn các tính chất sau:
a. $f(xf(y)) = yf(x), \forall x, y \in \mathbb{R}^{+}$.
b. $f(x)\rightarrow 0$ khi $x \rightarrow \infty$.
Tìm $f(x)$.
Câu 3: Giả sử $(a_{n})$ và $(b_{n})$ là dãy các số thực thỏa mãn $a_{n} \leq b_{n}, \forall n$. Chứng minh rằng nếu $\sum a_{n}$ không hội tụ và không bằng $+\infty$ thì $\sum b_{n}$ không hội tụ.
Câu 4: Chứng minh rằng nếu $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ hội tụ tuyệt đối thì $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ hội tụ.
Câu 5: Một hàm $f:D \rightarrow \mathbb{R}$ được gọi là Lipschitz nếu tồn tại một hằng số $K > 0$, sao cho $|f(x) - f(y)| \leq K|x - y|$ với mọi $x, y \in D$. Chứng minh rằng tồn tại một hàm số liên tục đều mà không Lipschitz.
Câu 6: Tìm tất cả các hàm liên tục $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$$3f(2x+1) = f(x) + 5x$$
với mọi $x$.
Câu 7: Cho $f(x)$ là hàm liên tục trên $[0, 1]$ và khả vi hai lần trên $(0, 1)$ thỏa mãn$f(0) = f(1) = 0$ và $\min_{x \in [0,1]} f(x) = -1$. Chứng minh rằng:
$$\max_{x \in [0,1]} f'' (x) \geq 8.$$
---------------------- Hết ----------------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 01-02-2015 - 14:01