Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi Olympic Toán sinh viên trường ĐH. Khoa học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh 2014 - 2015


  • Please log in to reply
Chưa có bài trả lời

#1 hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản trị
  • 859 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khoa Toán học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Tp. Hồ Chí Minh, Việt Nam
  • Sở thích:toán, toán và.... toán

Đã gửi 01-02-2015 - 13:41

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH                                  Kỳ thi vòng loại Olympic Toán sinh viên năm học 2014 - 2015

      TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN                                                                      Môn thi: Đại số và Giải tích

---------------------------------------------------------------------                                            Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề

                 $\boxed{\text{ĐỀ CHÍNH THỨC}}$                                                                                             

 

logo-khtn.png

 

Môn thi: ĐẠI SỐ

 

Câu 1: Cho ma trận $A$ là ma trận đối xứng thực, vuông cấp $n$. Giả sử rằng

$$A^{5}+A^{3}+A=3I_{n}$$

Chứng minh rằng $A=I_{n}$.

 

Câu 2: Khẳng định sau đây đúng hay không? Tại sao?

"Mọi ma trận $A$ vuông, cấp $2$ trên $\mathbb{C}$ luôn tồn tại ma trận $B$ sao cho $B^{2}=A$."

 

Câu 3: Cho $P, Q \in M_{n}(\mathbb{R})$. Giả sử rằng $P^{2} = P, Q^{2} = Q$ và $I_{n} - (P+Q)$ khả nghịch. Chứng minh rằng $rank(P)=rank(Q)$.

 

Câu 4: Cho ma trận

$$T=\begin{pmatrix} a_1& b_1& 0& 0& \cdots& 0& 0\\ b_1& a_2& b_2& 0& \cdots& 0& 0\\ 0& b_2& a_3& b_3& \cdots& 0& 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0& 0& 0& 0&\cdots &a_{n-1} &b_{n-1} \\ 0& 0& 0& 0&\cdots &b_{n-1} & a_{n} \end{pmatrix}$$

Giả sử rằng $b_j \neq 0$, với mọi $j$. Chứng minh rằng:

a. $rank(T) \geq n-1$.

b. $T$ có $n$ trị riêng khác nhau.

 

Câu 5: Cho ma trận thực $X$ vuông cấp $2n$ như sau

$$\begin{pmatrix} A &B \\ C & D \end{pmatrix},$$

trong đó $A, B, C$ và $D$ là các ma trận thực vuông cấp $n$. Giả sử rằng các ma trận này giao hoán với nhau. Chứng minh rằng ma trận $X$ khả nghịch nếu và chỉ nếu $AD-BC$ khả nghịch.

 

Câu 6: Cho $f_{1}, f_{2}, \cdots f_{n}$ là những hàm số thực liên tục trên $[a, b]$. Chứng minh rằng $\begin{Bmatrix} f_1, f_2, \cdots, f_n \end{Bmatrix}$ phụ thuộc tuyến tính trên $[a, b]$ nếu và chỉ nếu

$$\det(A) = 0,$$

trong đó 

$$[A]_{ij}=\int_{a}^{b}f_{i}(x)f_{j}(x)d(x), 1 \leq i, j\leq n$$.

 

Môn thi: GIẢI TÍCH

 

Câu 1: Chứng minh rằng không tồn tại hàm liên tục $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ sao cho $f(\mathbb{R})=\mathbb{Q}$, với $\mathbb{Q}$ là tập hợp các số hữu tỷ.

 

Câu 2: Cho hàm số thực $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^{+}$ thỏa mãn các tính chất sau:

a. $f(xf(y)) = yf(x), \forall x, y \in \mathbb{R}^{+}$.

b. $f(x)\rightarrow 0$ khi $x \rightarrow \infty$.

Tìm $f(x)$.

 

Câu 3: Giả sử $(a_{n})$ và $(b_{n})$ là dãy các số thực thỏa mãn $a_{n} \leq b_{n}, \forall n$. Chứng minh rằng nếu $\sum a_{n}$ không hội tụ và không bằng $+\infty$ thì $\sum b_{n}$ không hội tụ.

 

Câu 4: Chứng minh rằng nếu $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ hội tụ tuyệt đối thì $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ hội tụ.

 

Câu 5: Một hàm $f:D \rightarrow \mathbb{R}$ được gọi là Lipschitz nếu tồn tại một hằng số $K > 0$, sao cho $|f(x) - f(y)| \leq K|x - y|$ với mọi $x, y \in D$. Chứng minh rằng tồn tại một hàm số liên tục đều mà không Lipschitz.

 

Câu 6: Tìm tất cả các hàm liên tục $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$$3f(2x+1) = f(x) + 5x$$

với mọi $x$.

 

Câu 7: Cho $f(x)$ là hàm liên tục trên $[0, 1]$ và khả vi hai lần trên $(0, 1)$ thỏa mãn$f(0) = f(1) = 0$ và $\min_{x \in [0,1]} f(x) = -1$. Chứng minh rằng:

$$\max_{x \in [0,1]} f'' (x) \geq 8.$$

 

---------------------- Hết ----------------------

 

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 01-02-2015 - 14:01

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

logocopy.jpg?t=1339838138


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh