Chủ đề này có 2 trả lời

[Yagami Raito]

1. Cho $a_1,a_2,...a_{n} \geq 0$ ; $b_1,b_2...,b_{n} \geq 0$. Chứng minh: 

$$\sqrt[n]{a_1.a_2...a_{n}}+\sqrt[n]{b_1.b_2...b_{n}} \leq \sqrt[n]{(a_1+b_1)....(a_{n}+b_{n})}$$

2. Cho $a,b,c>0$. Chứng minh 

$$\sum \dfrac{a^2}{a+b} \geq \dfrac{\sqrt{2}}{4}.(\sum \sqrt{a^2+b^2})$$

[Lee LOng]

Ta có:

$\sum \frac{a^{2}}{a+b}=\sum\frac{b^{2}}{a+b}$

$\Rightarrow 2\sum \frac{a^{2}}{a+b}=\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{a+b}\geq \frac{\sqrt{2}}{2}(\sum \sqrt{a^{2}+b^{2}})$

Đpcm

[khanghaxuan]

1. Cho $a_1,a_2,...a_{n} \geq 0$ ; $b_1,b_2...,b_{n} \geq 0$. Chứng minh: 

$$\sqrt[n]{a_1.a_2...a_{n}}+\sqrt[n]{b_1.b_2...b_{n}} \leq \sqrt[n]{(a_1+b_1)....(a_{n}+b_{n})}$$

2. Cho $a,b,c>0$. Chứng minh 

 $$\sum \dfrac{a^2}{a+b} \geq \dfrac{\sqrt{2}}{4}.(\sum \sqrt{a^2+b^2}

Bài 1 :  Bđt Holder

Bài 2 :    Bđt cần chứng minh tương đương :   

 

   $\frac{1}{2}\sum ((a-b)^{2}.(\frac{1}{a+b}))\geq 0$  (*)

 

Mà (*) luôn đúng với mọi $a,b,c>0$

 

Nên ĐPCM