Cho a,b,c là các số thực dương . CMR :
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duythanbg: 01-02-2015 - 21:44
Cho a,b,c là các số thực dương . CMR :
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{9(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duythanbg: 01-02-2015 - 21:44
Đầu tiên ta chứng minh kết quả sau: Với mọi số thực không âm $a,b,c$ thì ta luôn có: $27(a^2b+b^2c+c^2a+abc)\leqslant 4(a+b+c)^3$
Chú ý đẳng thức $ab^2+bc^2+ca^2-a^2b-b^2c-c^2a=(a-b)(b-c)(c-a)$ nên ta chỉ cần xét trong trường hợp $a\geqslant b\geqslant c$
Khi đó bất đẳng thức trở thành: $9c\left[(a-b)^2+(b-c)^2+(a-b)(b-c)\right]+(4a+b-5c)(a+c-2b)^2 \geqslant 0$ luôn đúng.
Áp dụng với $a=\dfrac{a}{b}, b=\dfrac{b}{c}, c=\dfrac{c}{a}$ thì:
$4\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)^3\geqslant 27\left(\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}+1\right)$
Do đó ta cần chứng minh: $\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}+1 \geqslant \dfrac{108(a^2+b^2+c^2)^3}{(a+b+c)^6}$
$\Leftrightarrow \dfrac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{abc}+4\geqslant \dfrac{108(a^2+b^2+c^2)^3}{(a+b+c)^6}$
Áp dụng $(ab+bc+ca)^2\geqslant 3abc(a+b+c)$
$\dfrac{3(a+b+c)^2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{3abc(a+b+c)}\geqslant \dfrac{3(a+b+c)^2[(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)]}{(ab+bc+ca)^2}$
Đặt $t=\dfrac{3(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}\in [1,3)$ thì ta cần chứng minh $\dfrac{54(t-1)}{(3-t)^2}+4\geqslant 4t^3$
$\Leftrightarrow (t-1)[2(t-1)^2(3+3t-t^2)+3]\geqslant 0$ luôn đúng.
Ta có điều phải chứng minh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 15-02-2015 - 15:17
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
Đầu tiên ta chứng minh kết quả sau: Với mọi số thực không âm $a,b,c$ thì ta luôn có: $27(a^2b+b^2c+c^2a+abc)\leqslant 4(a+b+c)^2$
Chú ý đẳng thức $ab^2+bc^2+ca^2-a^2b-b^2c-c^2a=(a-b)(b-c)(c-a)$ nên ta chỉ cần xét trong trường hợp $a\geqslant b\geqslant c$
Khi đó bất đẳng thức trở thành: $9c\left[(a-b)^2+(b-c)^2+(a-b)(b-c)\right]+(4a+b-5c)(a+c-2b)^2 \geqslant 0$ luôn đúng.
Áp dụng với $a=\dfrac{a}{b}, b=\dfrac{b}{c}, c=\dfrac{c}{a}$ thì:
$4\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)^2\geqslant 27\left(\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}+1\right)$
Do đó ta cần chứng minh: $\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}+1 \geqslant \dfrac{108(a^2+b^2+c^2)^3}{(a+b+c)^6}$
$\Leftrightarrow \dfrac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{abc}+4\geqslant \dfrac{108(a^2+b^2+c^2)^3}{(a+b+c)^6}$
Áp dụng $(ab+bc+ca)^2\geqslant 3abc(a+b+c)$
$\dfrac{3(a+b+c)^2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}{3abc(a+b+c)}\geqslant \dfrac{3(a+b+c)^2[(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)]}{(ab+bc+ca)^2}$
Đặt $t=\dfrac{3(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}\in [1,3)$ thì ta cần chứng minh $\dfrac{54(t-1)}{(3-t)^2}+4\geqslant 4t^3$
$\Leftrightarrow (t-1)[2(t-1)^2(3+3t-t^2)+3]\geqslant 0$ luôn đúng.
Ta có điều phải chứng minh.
Với $a=1;b=2;c=3$ thì BĐT màu đỏ sai !!!!!
Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .
- A.Lincoln -Với $a=1;b=2;c=3$ thì BĐT màu đỏ sai !!!!!
Ghi nhầm số mũ. Đã sửa
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
Ghi nhầm số mũ. Đã sửa
Cách khác : Giả sử $0\leq a\leq b\leq c$
Ta có $\sum ab^{2}-\sum a^{2}b=(a-b)(a-c)(c-b)\geq 0$ nên $\sum \frac{a}{b}\geq \sum \frac{b}{a}$
ĐPCM tương đương : $\sum (a-b)^{2}(\frac{1}{2ab}-\frac{3}{(\sum a)^{2}})\geq 0$ (**)
Hay : $\sum (a-b)^{2}(\frac{(\sum a)^{2}-6ab}{2ab})\geq 0$
Đặt : $S_{a}=\frac{(\sum a)^{2}-6bc}{2bc}$
$S_{b}=\frac{(\sum a)^{2}-6ca}{2ca}$
$S_{c}=\frac{(\sum a)^{2}-6ba}{2ba}$
Vì $0\leq a\leq b\leq c$ nên $S_{a}\geq S_{b}\geq S_{c}$
Xét : $S_{b}+S_{c}=\frac{(\sum a)^{2}(b+c)-12abc}{2abc}$
Ta sẽ chứng minh : $(\sum a)^{2}(b+c)-12abc\geq 0$ (*)
Thật vậy : $(*)\Leftrightarrow b^{3}+c^{3}+a^{2}c+2ac^{2}+3bc^{2}+3b^{2}c+a^{2}b+2ab^{2}\geq 8abc$
Mặt khác ta có : $ac^{2}+a^{2}b+b^{2}c\geq 3abc$
$b^{3}+c^{3}+a^{2}c\geq b^{3}+c^{3}+a^{3}\geq 3abc$
$b^{2}c+bc^{2}+ab^{2}\geq b^{2}c+bc^{2}+a^{3}\geq 3abc$
Từ đó ta có : $S_{b}+S_{c}\geq 0\Rightarrow S_{b}\geq 0 \Rightarrow S_{b}+S_{a}\geq 0$
Nên (**) đúng hay ta có ĐPCM
Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .
- A.Lincoln -Cách khác : Giả sử $0\leq a\leq b\leq c$
Ta có $\sum ab^{2}-\sum a^{2}b=(a-b)(a-c)(c-b)\geq 0$ nên $\sum \frac{a}{b}\geq \sum \frac{b}{a}$
ĐPCM tương đương : $\sum (a-b)^{2}(\frac{1}{2ab}-\frac{3}{(\sum a)^{2}})\geq 0$ (**)
Hay : $\sum (a-b)^{2}(\frac{(\sum a)^{2}-6ab}{2ab})\geq 0$
Đặt : $S_{a}=\frac{(\sum a)^{2}-6bc}{2bc}$
$S_{b}=\frac{(\sum a)^{2}-6ca}{2ca}$
$S_{c}=\frac{(\sum a)^{2}-6ba}{2ba}$
Vì $0\leq a\leq b\leq c$ nên $S_{a}\geq S_{b}\geq S_{c}$
Xét : $S_{b}+S_{c}=\frac{(\sum a)^{2}(b+c)-12abc}{2abc}$
Ta sẽ chứng minh : $(\sum a)^{2}(b+c)-12abc\geq 0$ (*)
Thật vậy : $(*)\Leftrightarrow b^{3}+c^{3}+a^{2}c+2ac^{2}+3bc^{2}+3b^{2}c+a^{2}b+2ab^{2}\geq 8abc$
Mặt khác ta có : $ac^{2}+a^{2}b+b^{2}c\geq 3abc$
$b^{3}+c^{3}+a^{2}c\geq b^{3}+c^{3}+a^{3}\geq 3abc$
$b^{2}c+bc^{2}+ab^{2}\geq b^{2}c+bc^{2}+a^{3}\geq 3abc$
Từ đó ta có : $S_{b}+S_{c}\geq 0\Rightarrow S_{b}\geq 0 \Rightarrow S_{b}+S_{a}\geq 0$
Nên (**) đúng hay ta có ĐPCM
Sai ngay khúc đầu tiên, thực tế ta chỉ cần chứng minh khi $a\geqslant b\geqslant c$, lúc đó sẽ không có đẳng thức
Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh