Chủ đề này có 13 trả lời

[Hoang Long Le]

                                                    ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM 2014-2015

Bài 1:

a) Giải phương trình: $\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}=-(x^2+2x-3-\sqrt2)$

b) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x\sqrt y+y\sqrt x=30\\ x\sqrt x+y\sqrt y=35 \end{matrix}\right.$

c) Tìm $x,y$ nguyên: $x^5-5x^3+4x=5(24y+1)$

Bài 2:

a) Cho a,b,c,x,y,z thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} x=by+cz\\ y=ax+cz\\ z=ax+by\\ x+y+z\neq 0 \end{matrix}\right.$

  C/m: $\sum \frac{1}{1+a}=2$

b) Cho $x,y$ nguyên thỏa mãn: $2x^2+x=3y^2+y$.C/m: $x-y;2x+2x+1;3x+3y+1$ đều là các số chính phương

Bài 3:

a) Cho $x,y,z>0$. C/m: $\frac{x}{y}+\sqrt{\frac{y}{z}}+\sqrt[3]{\frac{z}{x}}>2$

b) Tìm GTLN và GTNN của: $M=15x+x\sqrt{17-x^2}$

Bài 4: Cho đường tròn $(O;R)$ hai đường kính AH và DE. Qua H kẻ tiếp tuyến với (O) cắt AD và AE kéo dài lần lượt tại B và C.Gọi M,N lần lượt là trung điểm BH và CH.

a)C/m: DM và EN là các tiếp tuyến của $(O;R)$    

b)C/m: Trực tâm I của tam giác AMN là trung điểm OH

c)Tìm đk của AH và DE để $S_{AMN}$ nhỏ nhất

Bài 5:Cho tam giác ABC cân tại A ($\widehat{A}<90^{\circ}$). Đường cao BH và phân giác BD của $\widehat{ABH}$ ($H,D\in AC$). C/m: $\frac{BH}{CD}>1$

Bài 6:Cho a,b,c dương và $a+b+c\leq 2015$. C/m: $\sum \frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\leq 2015$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Long Le: 02-02-2015 - 00:22

[hoctrocuaZel]

1/ a/ $(\sqrt{x-1};\sqrt{3-x})=a;b$. DO đó, có HPT: $a^2+b^2=2;a+b=-a^2b^2+\sqrt{2}$

b/ $LHS(1)\Leftrightarrow \sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=30$

$LHS(2)\Leftrightarrow (\sqrt{x})^3+(\sqrt{y})^3=35$

c/ $LHS=(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)\vdots 4\rightarrow 5\vdots 4$

2/ a/ câu này dễ. Đổi biến.

b/ Chú ý: $(a;b)=1$. $a.b=c^2$ thì a,b là các số chính phương

5/ Xét công thức tổng quát của $\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\geq am+bn+c$.

Đây là 1 bài toán khá quen thuộc

[kimchitwinkle]

1/ a/ $(\sqrt{x-1};\sqrt{3-x})=a;b$. DO đó, có HPT: $a^2+b^2=2;a+b=-a^2b^2+\sqrt{2}$

b/ $LHS(1)\Leftrightarrow \sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=30$

$LHS(2)\Leftrightarrow (\sqrt{x})^3+(\sqrt{y})^3=35$

c/ $LHS=(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)\vdots 4\rightarrow 5\vdots 4$

2/ a/ câu này dễ. Đổi biến.

b/ Chú ý: $(a;b)=1$. $a.b=c^2$ thì a,b là các số chính phương

5/ Xét công thức tổng quát của $\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\geq am+bn+c$.

Đây là 1 bài toán khá quen thuộc

làm tắt vừa phải thôi. Đi thi cũng làm thế ah. Vậy thì điểm cao phải biết.     

[dogsteven]

Bài 6. $a^3+b^3-ab(a+b)=(a-b)^2(a+b)\geqslant 0 \forall a,b\geqslant 0$

$\dfrac{5a^3-b^3}{a(b+3a)}=\dfrac{6a^3-a^3-b^3}{a(b+3a)} \leqslant \dfrac{6a^3-ab(a+b)}{a(b+3a)}=2a-b$

Tương tự rồi cộng lại.

[phitruong3112000]

1/ a/ $(\sqrt{x-1};\sqrt{3-x})=a;b$. DO đó, có HPT: $a^2+b^2=2;a+b=-a^2b^2+\sqrt{2}$

b/ $LHS(1)\Leftrightarrow \sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})=30$

$LHS(2)\Leftrightarrow (\sqrt{x})^3+(\sqrt{y})^3=35$

c/ $LHS=(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)\vdots 4\rightarrow 5\vdots 4$

2/ a/ câu này dễ. Đổi biến.

b/ Chú ý: $(a;b)=1$. $a.b=c^2$ thì a,b là các số chính phương

5/ Xét công thức tổng quát của $\frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\geq am+bn+c$.

Đây là 1 bài toán khá quen thuộc

bạn chém thế ai hiểu

[Lee LOng]

Đặt $\frac{x}{y}=a;\sqrt{\frac{y}{z}}=b; \sqrt[3]{\frac{z}{x}}=c$ có: $ab^{2}c^{3}=1$

Áp dụng cô si có:

$a+\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{3}+\frac{c}{3}+\frac{c}{3}\geq 6\sqrt[6]{\frac{ab^{2}c^{3}}{4.3^{3}}}> 2$

[Dinh Xuan Hung]

                                                    ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM 2014-2015

 

Bài 6:Cho a,b,c dương và $a+b+c\leq 2015$. C/m: $\sum \frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\leq 2015$

$a^2+b^2\geq 2ab \Leftrightarrow a^2-ab+b^2\geq ab \Leftrightarrow a^3+b^3\geq ab(a+b ) \Leftrightarrow 6a^3-a^2b-ab^2\geq 5a^3-b^3 \Leftrightarrow a(6a^2-ab-b^2)\geq 5a^3-b^3 \Leftrightarrow a(6a^2-3ab+2ab-b^2)\geq 5a^3-b^3 \Leftrightarrow (3a^2+ab)(2a-b)\geq 5a^3-b^3 \Leftrightarrow \frac{5a^3-b^3}{3a^2+ab}\leq 2a-b$

CMTT là ra thui

[dogsteven]

    cho mình hỏi làm sao có ' ý tưởng' để nghĩ ra hướng thê này

Ở dưới mẫu có nhân tử chung $a$ như bạn thấy. Ý tưởng đầu tiên là giảm bậc cho cả tử và mẫu. Vậy giờ cần một nhân tử chung $a$ ở tử.

$a^3+b^3 \geqslant ab(a+b)$ dùng để làm việc đấy.

[Lee LOng]

Ta có:

$M^{2}= \left [ \sqrt{15}.\sqrt{15}x+\sqrt{17-x^{2}}.x \right ]^{2}\leq (15+17-x^{2})(15x^{2}+x^{2})\leq 16.\frac{(32-x^{2}+x^{2})^{2}}{4}=64^{2}$

Vậy Min M=-64 $\Leftrightarrow x=-4$ và Max M=64 $\Leftrightarrow x=4$

[hoctrocuaZel]

Câu hình:

a/ (Chắc ai cũng làm được)

b/ Dễ có: $MI//BO$. Theo đường trung bình $IO=IH$.

c/ $S_{AMN}=\frac{2R.BC}{4}\rightarrow BC_{Min}\Leftrightarrow BC=BH+CH\geq 2.\sqrt{4R^2}=const$

[Duong Nhi]

Hình thì bài 5 dễ còn bài 6 hơi bị khó......       

Mà 5c họ vẹ tìm đk của AH vs DE tê Hướng.......

5c S_AMN=1/2 MN.AH$\geq \frac{AH.DE}{2} => Min S=\frac{AH.DE}{2}<=> MN=DE=> MN song^{2}DE=> DE vuông AH$

[hoanglong2k]

Hình thì bài 5 dễ còn bài 6 hơi bị khó......       

Mà 5c họ vẹ tìm đk của AH vs DE tê Hướng.......

5c S_AMN=1/2 MN.AH$\geq \frac{AH.DE}{2} => Min S=\frac{AH.DE}{2}<=> MN=DE=> MN song^{2}DE=> DE vuông AH$

Bài 6 là bất đẳng thức mà

Hồi bựa kiểm tra tịt mất 2b, tiếc đứt ruột, không khoái mấy cái dạng nớ (

Còn câu 5 thấy dễ nhất mà sao ko ai giải vậy

BL: Kẻ DK vuông góc AB và K thuộc AK thì $AK<AD$ nên $BK>CD$ hay $BH>CD$

[Duong Nhi]

câu 5 t lm ko ra nựa tề...

suy nghĩ mãi......hóa ra hs rk....    

2b thì hơi bị dễ đều phải c/m được cái: nếu (a,b)=1 và ab=c²=>a=m²;b=n²

[Duong Nhi]

Bài 6 là bất đẳng thức mà

Hồi bựa kiểm tra tịt mất 2b, tiếc đứt ruột, không khoái mấy cái dạng nớ (

Còn câu 5 thấy dễ nhất mà sao ko ai giải vậy

BL: Kẻ DK vuông góc AB và K thuộc AK thì $AK<AD$ nên $BK>CD$ hay $BH>CD$

 

Bài 6 là bất đẳng thức mà

Hồi bựa kiểm tra tịt mất 2b, tiếc đứt ruột, không khoái mấy cái dạng nớ (

Còn câu 5 thấy dễ nhất mà sao ko ai giải vậy

BL: Kẻ DK vuông góc AB và K thuộc AK thì $AK<AD$ nên $BK>CD$ hay $BH>CD$

Nhầm bài 4 dễ bài 5 hơi bị khó....

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Duong Nhi: 07-02-2015 - 11:53