Chủ đề này có 2 trả lời

[Yagami Raito]

1.Cho $a,b,c>0$ thỏa mãm $ab+a+b=3$.Chứng minh 

$$\dfrac{3a}{b+1}+\dfrac{3b}{a+1}+\dfrac{ab}{a+b} \leq a^2+b^2+ \dfrac{3}{2}$$

2.Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=2$.Chứng minh

$$\sqrt{x+y+z} \geq \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}$$

[Nguyen Minh Hai]

 

2.Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=2$.Chứng minh

$$\sqrt{x+y+z} \geq \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}$$

Từ giả thiết $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\rightarrow 1=1-\frac{1}{x}+1-\frac{1}{y}+1-\frac{1}{z}=\frac{x-1}{x}+\frac{y-1}{y}+\frac{z-1}{z}$

$\rightarrow x+y+z=(x+y+z)(\frac{x-1}{x}+\frac{y-1}{y}+\frac{z-1}{z})\geq (\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1})^2$

$\rightarrow \sqrt{x+y+z}\geq \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}$

[khanghaxuan]

1.Cho $a,b,c>0$ thỏa mãm $ab+a+b=3$.Chứng minh 

$$\dfrac{3a}{b+1}+\dfrac{3b}{a+1}+\dfrac{ab}{a+b} \leq a^2+b^2+ \dfrac{3}{2}$$

2.Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=2$.Chứng minh

$$\sqrt{x+y+z} \geq \sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-1}$$

Bài 1 :  Ta có :    $ab+a+b=3\Rightarrow (a+1)(b+1)=4$  

 

$\frac{3a}{b+1}+\frac{3b}{a+1}=\frac{3}{4}(a^{2}+b^{2}+a+b)$  

 

ĐPCM tương đương :     $\frac{3}{4}(a+b)+\frac{ab}{a+b}\leq \frac{1}{4}(a^{2}+b^{2})+\frac{3}{2}$  

 

                                      $\Rightarrow \frac{3}{4}(a+b)+\frac{3}{a+b}\leq \frac{1}{4}(a^{2}+b^{2})+\frac{5}{2}$ 

 

                                      $\Rightarrow \frac{3}{4}(a+b)+\frac{3}{a+b}\leq \frac{1}{4}(a+b)^{2}+\frac{1}{2}(a+b)+1$ 

 

                                      $\Rightarrow x^{3}-x^{2}+4x-12\geq 0$  (*)  (Với $x=a+b$)

 

(*) đúng khi và chỉ khi  $x\geq 2$   Thật vậy :   Từ điều kiện :  

 

                              $3=ab+a+b\leq \frac{1}{4}(a+b)^{2}+a+b\Rightarrow (a+b-2)(a+b+6)\geq 0 \Rightarrow a+b\geq 2 \Rightarrow x\geq 2$ Vậy ta có ĐPCM