Chủ đề này có 6 trả lời

[vipqiv]

Cho $x^2+y=1$ . tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :$\sqrt{x^4+\frac{1}{x^4}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}$ (cần ngay bây giờ) thanks nhiều =]]

[lvc11to14]

Dùng mincoxki nhé bạn. và dùng BDt 1/a+1/b >=4/(a+b) là xong

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lvc11to14: 02-02-2015 - 21:26

[Dinh Xuan Hung]

Cho $x^2+y=1$ . tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :$\sqrt{x^4+\frac{1}{x^4}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}$ (cần ngay bây giờ) thanks nhiều =]]

$\sqrt{x^4+\frac{1}{x^4}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\geq \sqrt{(x^2+y)^2+(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y})^2}\geq \sqrt{(x^2+y)^2+\frac{16}{(x^2+y)^2}}=\sqrt{17}$

[Minato]

$\sqrt{x^4+\frac{1}{x^4}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\geq \sqrt{(x^2+y)^2+(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y})^2}\geq \sqrt{(x^2+y)^2+\frac{16}{(x^2+y)^2}}=\sqrt{17}$

Dùng cách khác đi bạn, dùng Mincoxki thì dễ rồi

[Nguyen Minh Hai]

Cho $x^2+y=1$ . tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :$A=\sqrt{x^4+\frac{1}{x^4}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}$ (cần ngay bây giờ) thanks nhiều =]]

Cách khác ko dùng Minkowsky.

Đặt $A=\sqrt{x^4+\frac{1}{x^4}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}$

$A^2=(x^4+y^2)+(\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^2})+2\sqrt{(x^4+\frac{1}{x^4})(y^2+\frac{1}{y^2})}$

Áp dụng BDDT Schwarz ta có:
$x^4+y^2\geq\frac{(x^2+y)^2}{2}=\frac{1}{2}$

Áp dụng Bunyakowsky và Schwarz ta có:
$\frac{1}{x^4}+\frac{1}{y^2}\geq\frac{1}{2}(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y})^2\geq\frac{1}{2}.(\frac{(1+1)^2}{x^2+y})^2=8$

Áp dụng Bunyakowsky và Cauchy ta được:

$\sqrt{(x^4+\frac{1}{x^4})(y^2+\frac{1}{y^2})}\geq x^2y+\frac{1}{x^2y}=x^2y+\frac{1}{16x^2y}+\frac{15}{16x^2y}\geq 2.\sqrt{x^2y.\frac{1}{16x^2y}}+\frac{15}{16}.\frac{1}{4}(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y})^2 \geq \frac{1}{2}+\frac{15}{64}.(\frac{(1+1)^2}{x^2+y})^2=\frac{17}{4}$

$\rightarrow A^2\geq \frac{1}{2}+8+\frac{17}{4}.2=17$

$\rightarrow A \geq \sqrt{17}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Minh Hai: 02-02-2015 - 23:37

[Mega Rayquaza]

hay :v

[dogsteven]

Nói chung làm sai rồi, $y$ có dương đâu mà Schwarz.