Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$\sum \frac{1}{(a+b+2\sqrt{a+c})^3}\leq \frac{8}{9}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 fifa

fifa

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết

Đã gửi 04-02-2015 - 17:29

Bài 1:

Cho $a,b,c>0$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 16(a+b+c)$. Chứng minh:

$\frac{1}{(a+b+2\sqrt{a+c})^3}+\frac{1}{(b+c+2\sqrt{b+a})^3}+\frac{1}{(c+a+2\sqrt{c+b})^3}\leq \frac{8}{9}$

 

Bài 2:

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=(a+b+c)$. Chứng minh:

$5(a+b+c)\geq 7+8abc$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi fifa: 05-02-2015 - 16:42


#2 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 463 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 04-02-2015 - 18:56

Bài 1:

Cho $a,b,c>0$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 16(a+b+c)$. Chứng minh:

$\frac{1}{(a+b+\sqrt[3]{a+c})^3}+\frac{1}{(b+c+\sqrt[3]{b+a})^3}+\frac{1}{(c+a+\sqrt[3]{c+b})^3}\leq \frac{8}{9}$

 

Bài 2:

Cho  $a,b,c>0$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 16(a+b+c)$. Chứng minh:

$\frac{1}{2+a^2}+\frac{1}{2+b^2}+\frac{1}{2+c^2}\leq 1$

bạn xem lại đề cái khi thay $a=b=c=\frac{1}{4}$ vào cả hai bài đều không đúng

 

U-Th


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 


#3 fifa

fifa

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết

Đã gửi 05-02-2015 - 16:38

bạn xem lại đề cái khi thay $a=b=c=\frac{1}{4}$ vào cả hai bài đều không đúng

 

U-Th

Mình sửa lại đề bài rồi :icon6:



#4 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 463 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 05-02-2015 - 19:29

Bài 1:

Cho $a,b,c>0$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 16(a+b+c)$. Chứng minh:

$\frac{1}{(a+b+2\sqrt{a+c})^3}+\frac{1}{(b+c+2\sqrt{b+a})^3}+\frac{1}{(c+a+2\sqrt{c+b})^3}\leq \frac{8}{9}$

 

 

theo bài TST VN 2009 thì $\sum_{cyc}^{.}\frac{1}{\left ( a+b+\sqrt{2(a+c)} \right )^3}\leq \frac{8}{9}$

mà $2\sqrt{a+c}>\sqrt{2(a+c)}\Rightarrow \sum_{cyc}^{.}\frac{1}{\left ( a+b+2\sqrt{a+c} \right )^3}<\sum_{cyc}^{.}\frac{1}{\left ( a+b+\sqrt{2(a+c)} \right )^3}\leq \frac{8}{9}$

 

 

Bài 2:

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=(a+b+c)$. Chứng minh:

$5(a+b+c)\geq 7+8abc$

chuyển sang ngôn ngữ $p,q,r$ cho nó nhanh vậy

từ giả thiết ta có $r=\frac{q}{p}$ do đó ta cần chứng minh $5p^2\geq 7p+8q$

ta có $\sum a=\sum \frac{1}{a}\geq \frac{9}{\sum a}\Rightarrow p\geq 3$

ta có $p^3+9r\geq 4pq\Rightarrow q\leq \frac{p^3}{4p-\frac{9}{p}}$

do đó ta cần chứng minh $5p^2\geq 7p+\frac{8p^3}{4p-\frac{9}{p}}\Leftrightarrow \frac{(p-3)p\left ( p^2+\frac{2p}{3}-\frac{7}{4} \right )}{\left ( p-\frac{3}{2} \right )\left ( p+\frac{3}{2} \right )}\geq 0$

điều này luôn đúng nên có $Q.E.D$

 

U-Th


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 05-02-2015 - 19:29

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 


#5 khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Bất đẳng thức , Tổ Hợp .

Đã gửi 06-02-2015 - 09:02

Bài 1:

Cho $a,b,c>0$ và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 16(a+b+c)$. Chứng minh:

$\frac{1}{(a+b+2\sqrt{a+c})^3}+\frac{1}{(b+c+2\sqrt{b+a})^3}+\frac{1}{(c+a+2\sqrt{c+b})^3}\leq \frac{8}{9}$

 

Bài 2:

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=(a+b+c)$. Chứng minh:

$5(a+b+c)\geq 7+8abc$

 

Bài 2 :   $ \sum \frac{1}{a}=\sum a\Rightarrow \sum ab=(\sum a)abc$ 

 

Đặt :   $\left\{\begin{matrix} \sum a=p & & \\ \sum ab=q & & \\ \prod a=r & & \end{matrix}\right.$  

 

Nên  ĐPCM viết lại :   $5p\geq 7+8r$ (*)   

 

Mặt khác ta có :   $r=\frac{q}{p}$    

 

Nên $(*)\Leftrightarrow 5p^{2}-7p-8q\geq 0$ (**)    

 

   Lại có :    $q\leq \frac{p^{2}}{3}$ (***)     

 

Từ (**) và (***) ta cần chứng minh :    $\frac{7}{3}p^{2}-7p\geq 0 \Leftrightarrow 7p(\frac{p}{3}-1)\geq 0$   (****)

 

Mặt khác ta có :    $\sum a=\sum \frac{1}{a}\geq \frac{9}{\sum a}\Rightarrow \sum a\geq 3 \Rightarrow p\geq 3$   

                        

Nên (****) đúng Vậy ta có ĐPCM 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khanghaxuan: 06-02-2015 - 09:23

Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh