Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi chọn đội tuyển Olympic 30-4 THPT chuyên Lê Hồng Phong TP.HCM 2014-2015


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 Pham Le Yen Nhi

Pham Le Yen Nhi

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 98 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 04-02-2015 - 19:39

Bài 1: Giải phương trình:

$\sqrt{2x+15}=32x^{2}+32x-20$

Bài 2: $R^{+}$ là tập hợp các số thực dương. Tìm tất cả các hàm số $f$: $R^{+}\rightarrow R^{+}$ thỏa

$f(x)f(y)=f(xy)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \forall x,y\epsilon R^{+}$

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol (P): $y=-x^{2}+4px-p+1$ với p là một số hữu tỷ. Gọi S là diện tích tam giác có 2 đỉnh là 2 giao điểm của parabol (P) với trục hoành và đỉnh thứ ba là đỉnh của parabol (P). Tìm tất cả các số hữu tỷ p để S là một số nguyên.

Bài 4: Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $(a+b+2c)(b+c+2a)(c+a+2b)=1$

Chứng minh rằng: 

$\frac{a}{b(4c+15)(b+2c)^{2}}\frac{b}{c(4a+15)(c+2a)^{2}}\frac{c}{a(4b+15)(a+2b)^{2}}\geq \frac{1}{3}$

Bài 5: Cho các số nguyên dương $k_{1}<k_{2}<...<k_{n}<k_{n+1}<...$, trong đó không có 2 số liên tiếp. Đặt $S_{n}=k_{1}+k_{2}+...+k_{n}$. Chứng minh rằng $\left [S_{n};S_{n+1} \right )$ có ít nhất một số chính phương với mọi n.

Bài 6 : Cho D là điểm nằm trên cạnh BC của tam giác ABC sao cho $\angle CAD=\angle CBA$. Một đường tròn tâm O qua hai điểm B,D cắt cạnh AB,AD lần lượt tại E,F. Đường thẳng BF và DE cắt nhau tại G. M là trung điểm AG. Chứng minh CM vuông góc với AO.

 



#2 hoctrocuaZel

hoctrocuaZel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1162 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp lang tận cùng!
  • Sở thích::( :3

Đã gửi 04-02-2015 - 19:53

Bài 1: Giải phương trình:

$\sqrt{2x+15}=32x^{2}+32x-20$

Bài 1/

$PT\Leftrightarrow 2x+15=(32x^2+32x-20)^2\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=\frac{1}{2}\\ x=\frac{1}{16}.(-9-\sqrt{221}) \end{bmatrix}$


Hướng TH Phan
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
:(

#3 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 04-02-2015 - 20:17

 

Bài 2: $R^{+}$ là tập hợp các số thực dương. Tìm tất cả các hàm số $f$: $R^{+}\rightarrow R^{+}$ thỏa

$f(x)f(y)=f(xy)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \forall x,y\epsilon R^{+}$

 

Bài 4: Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $(a+b+2c)(b+c+2a)(c+a+2b)=1$

Chứng minh rằng: 

$\frac{a}{b(4c+15)(b+2c)^{2}}\frac{b}{c(4a+15)(c+2a)^{2}}\frac{c}{a(4b+15)(a+2b)^{2}}\geq \frac{1}{3}$

 

  Bài 2: -Chọn $x=y=1= > f(1)^2=f(1)+2= > (f(1)-2)(f(1)+1)=0= > f(1)=2$ (Do $f:R^{+}\rightarrow R^{+}= > f(1)+1> 0$)

 

             -Chọn $y=1= > f(x)f(1)=f(x.1)+1+\frac{1}{x}=f(x)+\frac{1}{x}+1= > 2f(x)=f(x)+1+\frac{1}{x}= > f(x)=1+\frac{1}{x}=\frac{x+1}{x}$ (Do $f(1)=2$)

 

   Vậy hàm $f(x)=\frac{x+1}{x}$ thỏa mãn bài toán.

 

 Bài 3: Áp dụng bđt Bunhiacopxki có:

 

  $\sum \frac{a}{b(4c+15)(b+2c)^2}=\sum \frac{(\frac{a}{b+2c})^2}{ab(4c+15)}\geq \frac{(\sum \frac{a}{b+2c})^2}{\sum ab(4c+15)}=\frac{(\sum \frac{a}{b+2c})^2}{12abc+15\sum ab}$  (1)

 

 Mà  $\sum \frac{a}{b+2c}=\sum \frac{a^2}{ab+2ac}\geq \frac{(\sum a)^2}{3\sum ab}\geq 1$  (2)

 

 Theo Cosi thì $1=\left [ (a+b)+(a+c) \right ]\left [ (b+c)+(b+a) \right ]\left [ (c+b)+(c+a) \right ]\geq 2\sqrt{(a+b)(a+c)}.2\sqrt{(b+c)(b+a)}.2\sqrt{(c+b)(c+a)}=8(a+b)(b+c)(c+a)\geq 8.\frac{8}{9}(ab+bc+ac)(a+b+c)\geq \frac{64}{9}.(\sum ab).\sqrt{3(\sum ab)}=\frac{64}{9}.\sqrt{3(\sum ab)^3}= > 1\geq \frac{64}{9}.\sqrt{3(\sum ab)^3}= > \sum ab\leq \frac{3}{16}$  

 

Mà  $\frac{3}{16}\geq \sum ab\geq 3.\sqrt[3]{(abc)^2}= > abc\leq \frac{1}{64}$

 

Từ đó  $= > 12abc+15\sum ab\leq 12.\frac{1}{64}+15.\frac{3}{16}=3$  (3)

 

 Từ (1),(2),(3) $= > \sum \frac{a}{b(4c+15)(b+2c)^2}\geq \frac{1}{3}$

 

 Dấu = xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{4}$



#4 ChiLanA0K48

ChiLanA0K48

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 133 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 04-02-2015 - 20:39

Bài 6 : Cho D là điểm nằm trên cạnh BC của tam giác ABC sao cho $\angle CAD=\angle CBA$. Một đường tròn tâm O qua hai điểm B,D cắt cạnh AB,AD lần lượt tại E,F. Đường thẳng BF và DE cắt nhau tại G. M là trung điểm AG. Chứng minh CM vuông góc với AO.

Bài giải

Do tứ giác $BDEF$ nội tiếp suy ra $\angle FBD=\angle AEF$ suy ra $\angle EAC=\angle AEF$ suy ra $EF/parallel AC$

Gọi $J$ là giao điểm $EF$ và $BC$

Gọi $I$ là giao điểm $AG$ và $BC$

Gọi $N$ là giao điểm $AG$ và $EF$

Áp dụng định lý Thales, ta có:

$\frac{\overline{IJ}}{\overline{IC}}=\frac{\overline{IN}}{\overline{IA}}$

Áp dụng định lý Brocard cho tứ giác toàn phần nội tiếp $BDEFAJ$ suy ra $O$ là trực tâm tam giác $AGJ$

suy ra $GJ\perp AO$

Cũng có $(AGNI)=-1$ (do tứ giác toàn phần)

$M$ là trung điểm $AG$ suy ra $\overline{IA}.\overline{IG}=\overline{IN}.\overline{IM}\Rightarrow \frac{\overline{IN}}{\overline{IA}}=\frac{\overline{IG}}{\overline{IM}}$

suy ra $\frac{\overline{IG}}{\overline{IM}}=\frac{\overline{IJ}}{\overline{IC}}$

suy ra $JG\parallel CM$

suy ra $CM\perp AO$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChiLanA0K48: 04-02-2015 - 21:22


#5 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 04-02-2015 - 20:48

Bài 1: Giải phương trình:

$\sqrt{2x+15}=32x^{2}+32x-20$

Bài 2: $R^{+}$ là tập hợp các số thực dương. Tìm tất cả các hàm số $f$: $R^{+}\rightarrow R^{+}$ thỏa

$f(x)f(y)=f(xy)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \forall x,y\epsilon R^{+}$

Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol (P): $y=-x^{2}+4px-p+1$ với p là một số hữu tỷ. Gọi S là diện tích tam giác có 2 đỉnh là 2 giao điểm của parabol (P) với trục hoành và đỉnh thứ ba là đỉnh của parabol (P). Tìm tất cả các số hữu tỷ p để S là một số nguyên.

Bài 4: Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $(a+b+2c)(b+c+2a)(c+a+2b)=1$

Chứng minh rằng: 

$\frac{a}{b(4c+15)(b+2c)^{2}}\frac{b}{c(4a+15)(c+2a)^{2}}\frac{c}{a(4b+15)(a+2b)^{2}}\geq \frac{1}{3}$

Bài 5: Cho các số nguyên dương $k_{1}<k_{2}<...<k_{n}<k_{n+1}<...$, trong đó không có 2 số liên tiếp. Đặt $S_{n}=k_{1}+k_{2}+...+k_{n}$. Chứng minh rằng $\left [S_{n};S_{n+1} \right )$ có ít nhất một số chính phương với mọi n.

Bài 6 : Cho D là điểm nằm trên cạnh BC của tam giác ABC sao cho $\angle CAD=\angle CBA$. Một đường tròn tâm O qua hai điểm B,D cắt cạnh AB,AD lần lượt tại E,F. Đường thẳng BF và DE cắt nhau tại G. M là trung điểm AG. Chứng minh CM vuông góc với AO.

 Bài bất chính là đề thi mình năm ngoái vừa thi

  

Hình gửi kèm

  • IMG_20150204_2039221.jpg

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Daicagiangho1998: 04-02-2015 - 20:52


#6 Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 04-02-2015 - 21:55

Bài 5: Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp

Với $n=2$ xét $2$ số $k_1;k_2$. Ta sẽ chứng minh giữa $k_1$ và $k_2$ luôn tồn tại một số chính phương

Chú ý $k_{n+1}\geq k_n+2$

Giả sử ngược lại không tồn tại một số chính phương nào thuộc khoảng $[k_1;2k_1+2)$. Gọi $t^2$ là số chính phương bé nhất thỏa $t^2\geq 2k_1+2$ suy ra $(t-1)^2<k_1$

Ta có $t^2-2t+1<k_1$

$=>2k_1+2-2t+1<k_1$

$=>2t>k_1+3$

$=>(t-1)^2+3<k_1+3<2t$

$=>(t-2)^2<0$ vô lý

Vậy luôn tồn tại một số chính phương thuộc đoạn này, $n=2$ thỏa

Giả sử bài toán đúng đến $n=k$, tức là trong khoảng $[S_n;Sn+k_{n+1})$ luôn tồn tại một số chính phương

Ta chứng minh trong khoảng $[S_n+k_{n+1};S_n+k_{n+1}+k_{n+2})$ cũng tồn tại một số chính phương

Gọi $t^2$ (em thích chữ t các bác ạ) là số chính phương lớn nhất thỏa: $S_n \leq t^2<S_n+k_{n+1}$

Suy ra $(t+1)^2\geq S_n+k_{n+1}$ nên ta chỉ cần chứng minh $(t+1)^2<S_n+2k_{n+1}+2$

Ta có $(t+1)^2=t^2+2t+1<S_n+k_{n+1}+2t+1\leq S_n+2k_{n+1}+2$

$<=> k_{n+1}+1\geq 2t$

Như vậy ta cần phải chứng minh $(k_{n+1}+1)^2\geq 4(S_n+k_{n+1})=4t^2$ hay $(k_{n+1})^2+1\geq 4S_n+2k_{n+1}$

Dễ kiểm tra điều này luôn đúng

CON YÊU BA MẸ NHIỀU LẮM


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 04-02-2015 - 21:58

NgọaLong

#7 Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 04-02-2015 - 22:15

 Bài bất chính là đề thi mình năm ngoái vừa thi

  

Dạ có nghi vấn ????  :angry:  :angry:  :angry:


NgọaLong

#8 Hoang Tung 126

Hoang Tung 126

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2061 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Physics

Đã gửi 04-02-2015 - 22:17

Dạ có nghi vấn ????  :angry:  :angry:  :angry:

là sao






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh