Chủ đề này có 1 trả lời

[dungtran14]

Tìm $a,b,c\in \mathbb{N}$ và $a,b,c\neq 0$ sao cho $\frac{a-b\sqrt{2011}}{b-c\sqrt{2011}}$ là số hữu tỉ và $a^{2} +b^{2} +c^{2}$ là số nguyên tố.

Bài này minh nhẩm ra 1 cặp duy nhất là $(a;b;c)=(1;1;1)$ và cách làm là đặt $\frac{a-b\sqrt{2011}}{b-c\sqrt{2011}}$ =$\frac{x}{y}$ với $x,y\in \mathbb{Z}$ nhưng biến đổi ra thấy ngược ngược .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hachinh2013: 05-02-2015 - 17:18

[Sherlock Nguyen]

$\frac{a-b \sqrt{2011}}{b-c\sqrt{2011}}= \frac{x}{y}\Leftrightarrow ay-by\sqrt{2011}=bx-cx\sqrt{2011}\Leftrightarrow ay-bx=\sqrt{2011}(cx-by)$

 Vì $\sqrt{2011} là số vô tỉ  \Rightarrow  $ay-bx=0; cx-by=0$ \Leftrightarrow $ay=bx$; $cx=by$ \Leftrightarrow $acxy=b^2xy$ \Rightarrow $ac=b^2

Ta có: $a^2+b^2+c^2=a^2+ac+c^2=(a+c)^2 - ac=(a+c)^2-b^2=(a+b+c)(a+c-b)$ $\rightarrow$ $a+c-b=1$ $\rightarrow$ $a+c=b+1$ $\rightarrow$ $a^2+b^2+c^2=a+b+c$ mà $a^2\geq a$; $b^2\geq b$; $c^2\geq c$

 Dấu bằng khi $a^2=a$; $b^2=b$; $c^2=c$ $\Leftrightarrow$ $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sherlock Nguyen: 05-02-2015 - 19:44