Đặt $a_i = 2^{b_i}\cdot c_i$ với $c_i$ lẻ. Do $a_i \not | \ a_j, \forall i\neq j$ nên $c_i \neq c_j, \forall i\neq j$. Vì có $n$ số $c_i$ lẻ khác nhau và $1\leq c_i<2n$ nên tập các $c_i$ chính là tập các số lẻ từ $1$ đến $2n$.
Nhận thấy nếu $c_i\mid c_j$ thì $b_i>b_j$. Do $c_i \mid 3 c_i \mid 3^2 c_i \mid ... \mid 3^a c_i < 2n$ với $a = [\log_3(2n/c_i)]$ nên $b_i \geq [\log_3(2n/c_i)]$
$\Rightarrow a_i \geq 2^{[\log_3(2n/c_i)]}c_i = 2^{[\log_3(2n) - \log_3c_i]}c_i$
Ta chỉ cần chứng minh : $2^{[\log_3(2n) - \log_3c_i]}c_i \geq 2^{[\log_3(2n)]}$ (*)
Với $c_i = 1$ thì (*) trở thành đẳng thức.
Với $c_i = 3$ thì (*) tương đương với $3\geq 2$
Với $c_i \geq 5$, ta có đánh giá $c_i \geq 2^{[\log_3c_i]+1}$ nên (*) hiển nhiên đúng. $\square$
Chấm điểm: 10.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 02-09-2017 - 16:45