Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh rằng $a_1\geq 2^{[log_{3}(2n)]}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 05-02-2015 - 19:52

Bài toán :

Cho $n$ số nguyên dương $1\leq a_1<a_2<....<a_n<2n$ thỏa mãn $a_i \not | \ a_j, \forall i\neq j$

Chứng minh rằng $a_1\geq 2^{[log_{3}(2n)]}$   (Với [ ] là kí hiệu phần nguyên)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 27-08-2017 - 23:37

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#2 Donald Trump

Donald Trump

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 29 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:White House
  • Sở thích:Làm nước Mỹ vĩ đại trở lại

Đã gửi 28-08-2017 - 10:25

Đặt $a_i = 2^{b_i}\cdot c_i$ với $c_i$ lẻ. Do $a_i \not | \ a_j, \forall i\neq j$ nên $c_i \neq c_j, \forall i\neq j$. Vì có $n$ số $c_i$ lẻ khác nhau và $1\leq c_i<2n$ nên tập các $c_i$ chính là tập các số lẻ từ $1$ đến $2n$.

Nhận thấy nếu $c_i\mid c_j$ thì $b_i>b_j$. Do $c_i \mid 3 c_i \mid 3^2 c_i \mid ... \mid 3^a c_i < 2n$ với $a = [\log_3(2n/c_i)]$ nên $b_i \geq [\log_3(2n/c_i)]$

$\Rightarrow a_i \geq 2^{[\log_3(2n/c_i)]}c_i = 2^{[\log_3(2n) - \log_3c_i]}c_i$

Ta chỉ cần chứng minh : $2^{[\log_3(2n) - \log_3c_i]}c_i \geq 2^{[\log_3(2n)]}$ (*)

Với $c_i = 1$ thì (*) trở thành đẳng thức.

Với $c_i = 3$ thì (*) tương đương với $3\geq 2$

Với $c_i \geq 5$, ta có đánh giá $c_i \geq 2^{[\log_3c_i]+1}$ nên (*) hiển nhiên đúng. $\square$

 

Chấm điểm: 10.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 02-09-2017 - 16:45


#3 NeverDiex

NeverDiex

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 61 Bài viết

Đã gửi 26-07-2019 - 10:37

Đặt ai=2biciai=2bi⋅ci với cici lẻ. Do ai/| aj,ijai⧸| aj,∀i≠j nên cicj,ijci≠cj,∀i≠j. Vì có nn số cici lẻ khác nhau và 1ci<2n1≤ci<2n nên tập các cici chính là tập các số lẻ từ 11 đến 2n2n.

Nhận thấy nếu cicjci∣cj thì bi>bjbi>bj. Do ci3ci32ci...3aci<2nci∣3ci∣32ci∣...∣3aci<2n với a=[log3(2n/ci)]a=[log3⁡(2n/ci)] nên bi[log3(2n/ci)]bi≥[log3⁡(2n/ci)]

ai2[log3(2n/ci)]ci=2[log3(2n)log3ci]ci⇒ai≥2[log3⁡(2n/ci)]ci=2[log3⁡(2n)−log3⁡ci]ci

Ta chỉ cần chứng minh : 2[log3(2n)log3ci]ci2[log3(2n)]2[log3⁡(2n)−log3⁡ci]ci≥2[log3⁡(2n)] (*)

Với ci=1ci=1 thì (*) trở thành đẳng thức.

Với ci=3ci=3 thì (*) tương đương với 323≥2

Với ci5ci≥5, ta có đánh giá ci2[log3ci]+1ci≥2[log3⁡ci]+1 nên (*) hiển nhiên đúng. 

 


 

 




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh