Cho $x,y,z>0$. Chứng minh: $\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{x+y+z}+6\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}\geq 3$
$\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{x+y+z}+6\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}\geq 3
#1
Đã gửi 05-02-2015 - 23:06
#2
Đã gửi 06-02-2015 - 08:47
Cho $x,y,z>0$. Chứng minh: $\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{x+y+z}+6\frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}\geq 3$
Ta viết lại BĐT : $\frac{1}{\sum x}+\frac{6}{(\sum x^{2})^{2}}\geq \frac{3}{\sum a^{3}}$
Áp dụng BĐT CAUCHY cho 3 số ta được :
$VT\geq 3 (\frac{9}{(\sum a^{2})^{4}(\sum x)})^{\frac{1}{3}}$
Ta cần chứng minh : $(\sum a^{2})^{4}(\sum a)\leq 9(\sum a^{3})^{3}$
Thật vậy : $(\sum a^{2})^{4}\leq 3^{\frac{4}{3}}(\sum a^{3})^\frac{8}{3}$ (*)
$\sum a\leq 9^{\frac{1}{3}}(\sum a^{3})^{\frac{1}{3}}$ (**)
Nhân vế theo vế của (*) và (**) ta được ĐPCM
- hoanglong2k yêu thích
Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .
- A.Lincoln -2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh