Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi Olympic Giải Tích Toán sinh viên ĐH Bách Khoa HN 2015


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1
Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết

Câu 1. Tìm giới hạn $$\lim_{x\to \infty} x^{\frac{7}{4}}\left ( \sqrt[4]{1+x}+\sqrt[4]{1-x}-2\sqrt[4]{x} \right )$$

 

Câu 2. Tính tích phân $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{1+\left ( \tan x \right )^{\sqrt{2}}}$$

 

Câu 3. Tìm tât cả các hàm số $f(x)$ thỏa mãn $$f(x)+f\left ( \frac{1}{1-x} \right )=x$$

 

Câu 4. Cho các hàm số $f_1, f_2, ..., f_n,...$ thỏa mãn $$\left\{\begin{matrix}f_1(x)=2x^2-1\\f_{n+1}=f_1\left ( f_n(x) \right ), \, \forall n\geq 1 \end{matrix}\right.$$

 

Giải phương trình $f_n(x)=0$

 

Câu 5. Cho hàm số $f(x)$ xác định và khả vi hai lần trên $(0, \infty)$, thỏa mãn các điều kiện sau $$\left\{\begin{matrix} f'(x)>0\\f\left ( f'(x) \right )=-f(x)\end{matrix}\right., \, \forall x>0$$

 

Tìm $f(x)$

 

Câu 6. Cho hàm số liên tục trên $[0;1]$ thỏa mãn $\int_{0}^{1}f(x)x^ndx=0,\, \forall n\in \mathbb{N}$. Chứng minh rằng $f(1)=0$


$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi


#2
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 679 Bài viết

Bài 6 có thể chứng minh f=0.



#3
David le

David le

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết

câu 2:

tổng quát:           I =   $\int_{a}^{b}\frac{f(sinx)}{f(sinx) + f(cosx)}$

                   đặt $t = \frac{\pi }{2}-x => \int_{a}^{b}\frac{f(sinx)}{f(sinx) + f(cosx)} = \int_{a}^{b}\frac{f(cosx)}{f(sinx) + f(cosx)}$

                 = > 2I = b-a      = > I = $\frac{b-a}{2}$



#4
David le

David le

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết

$b-a = \frac{\pi}{2}$



#5
David le

David le

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết

câu 5: thay $x = f'(x)$  => $f(f'(f'(x))) = f(x)$

          do $f'(x) > 0$ nên $f(x)$ đơn ánh hay $x = f'(f'(x))$ (*)

          mặt khác do $f(x)$ khả vi đến cấp 2 nên $f'(x)$ là hàm liên tục trên $(0; + \infty )$

          ta sẽ cm $f'(x) = x$

          không mất tính tổng quát giả sử $f'(x)>x$  =>  $f'(f(x)) > f'(x) > x$

          trái với (*) ta được điều phải cm

          mà $f'(x) = x$ => $f(x) = x^2 +  C$

          thay vào giả thuyết $f(f'(x)) = -f(x)$ thấy ko thỏa mãn

          suy ra ko tồn tại $f(x)$ thỏa mãn đề bài


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi David le: 25-02-2015 - 18:42


#6
David le

David le

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết

câu 3: sử dụng hệ chuyển qua giới hạn



#7
luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 373 Bài viết

Bài 6 có thể chứng minh f=0.

Anh có thể giải thích rõ cho em được không ạ!



#8
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 679 Bài viết
[quote name="luuvanthai" post="602298" timestamp="1449593859"]

Anh có thể giải thích rõ cho em được không ạ![/quomote]
For every continuous function on an interval f, there is a sequence of polynomials that converges to f uniformly. So that the integration of $f^2$ is equal to 0. Since f is continuous, we conclude that f is 0. You can search on wiki https://en.m.wikiped...imation_theorem

#9
Nguyen Qui Hoan

Nguyen Qui Hoan

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

ai làm câu 1 chưa



#10
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

ai làm câu 1 chưa

 

 

Chắc người gõ đề nhầm ($\sqrt[4]{1-x}$ vs $x\to \infty$).
 

Câu 1. Tìm giới hạn $$\lim_{x\to \infty} x^{\frac{7}{4}}\left ( \sqrt[4]{1+x}+\sqrt[4]{1-x}-2\sqrt[4]{x} \right )$$

 

 


Đời người là một hành trình...


#11
happyfree

happyfree

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 123 Bài viết

mọi người thảo luận câu 4 đi



#12
An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1803 Bài viết

mọi người thảo luận câu 4 đi

 

Xét $x\in [-1,1]$, đặt $x=\cos{t}$.

$f_n(x)=\cos{2^nt}$

Từ đó suy ra phương trình $f_n(x)=0$ có đúng $2^n$ nghiệm và các nghiệm này trong $[-1,1]$.


Đời người là một hành trình...





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh