Đến nội dung


Chú ý

Do trục trặc kĩ thuật nên diễn đàn đã không truy cập được trong ít ngày vừa qua, mong các bạn thông cảm.

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi Olympic Giải Tích Toán sinh viên ĐH Bách Khoa HN 2015


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 11 trả lời

#1 Mrnhan

Mrnhan

    $\text{Uchiha Itachi}$

  • Thành viên
  • 1100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\mathbb{Homeless}$
  • Sở thích:make someone happy :)

Đã gửi 07-02-2015 - 16:21

Câu 1. Tìm giới hạn $$\lim_{x\to \infty} x^{\frac{7}{4}}\left ( \sqrt[4]{1+x}+\sqrt[4]{1-x}-2\sqrt[4]{x} \right )$$

 

Câu 2. Tính tích phân $$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{1+\left ( \tan x \right )^{\sqrt{2}}}$$

 

Câu 3. Tìm tât cả các hàm số $f(x)$ thỏa mãn $$f(x)+f\left ( \frac{1}{1-x} \right )=x$$

 

Câu 4. Cho các hàm số $f_1, f_2, ..., f_n,...$ thỏa mãn $$\left\{\begin{matrix}f_1(x)=2x^2-1\\f_{n+1}=f_1\left ( f_n(x) \right ), \, \forall n\geq 1 \end{matrix}\right.$$

 

Giải phương trình $f_n(x)=0$

 

Câu 5. Cho hàm số $f(x)$ xác định và khả vi hai lần trên $(0, \infty)$, thỏa mãn các điều kiện sau $$\left\{\begin{matrix} f'(x)>0\\f\left ( f'(x) \right )=-f(x)\end{matrix}\right., \, \forall x>0$$

 

Tìm $f(x)$

 

Câu 6. Cho hàm số liên tục trên $[0;1]$ thỏa mãn $\int_{0}^{1}f(x)x^ndx=0,\, \forall n\in \mathbb{N}$. Chứng minh rằng $f(1)=0$


$\text{Cứ làm việc chăm chỉ trong im lặng}$

Hình đã gửi$\text{Hãy để thành công trở thành tiếng nói của bạn}$Hình đã gửi


#2 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 531 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 07-02-2015 - 20:31

Bài 6 có thể chứng minh f=0.



#3 David le

David le

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên DH Vinh
  • Sở thích:Toán học - Giải tích

Đã gửi 25-02-2015 - 17:21

câu 2:

tổng quát:           I =   $\int_{a}^{b}\frac{f(sinx)}{f(sinx) + f(cosx)}$

                   đặt $t = \frac{\pi }{2}-x => \int_{a}^{b}\frac{f(sinx)}{f(sinx) + f(cosx)} = \int_{a}^{b}\frac{f(cosx)}{f(sinx) + f(cosx)}$

                 = > 2I = b-a      = > I = $\frac{b-a}{2}$



#4 David le

David le

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên DH Vinh
  • Sở thích:Toán học - Giải tích

Đã gửi 25-02-2015 - 17:58

$b-a = \frac{\pi}{2}$



#5 David le

David le

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên DH Vinh
  • Sở thích:Toán học - Giải tích

Đã gửi 25-02-2015 - 18:09

câu 5: thay $x = f'(x)$  => $f(f'(f'(x))) = f(x)$

          do $f'(x) > 0$ nên $f(x)$ đơn ánh hay $x = f'(f'(x))$ (*)

          mặt khác do $f(x)$ khả vi đến cấp 2 nên $f'(x)$ là hàm liên tục trên $(0; + \infty )$

          ta sẽ cm $f'(x) = x$

          không mất tính tổng quát giả sử $f'(x)>x$  =>  $f'(f(x)) > f'(x) > x$

          trái với (*) ta được điều phải cm

          mà $f'(x) = x$ => $f(x) = x^2 +  C$

          thay vào giả thuyết $f(f'(x)) = -f(x)$ thấy ko thỏa mãn

          suy ra ko tồn tại $f(x)$ thỏa mãn đề bài


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi David le: 25-02-2015 - 18:42


#6 David le

David le

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên DH Vinh
  • Sở thích:Toán học - Giải tích

Đã gửi 25-02-2015 - 18:45

câu 3: sử dụng hệ chuyển qua giới hạn



#7 luuvanthai

luuvanthai

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 373 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:THCS Hải Hậu
  • Sở thích:Number Theory

Đã gửi 08-12-2015 - 23:57

Bài 6 có thể chứng minh f=0.

Anh có thể giải thích rõ cho em được không ạ!



#8 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 531 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 09-12-2015 - 17:04

[quote name="luuvanthai" post="602298" timestamp="1449593859"]

Anh có thể giải thích rõ cho em được không ạ![/quomote]
For every continuous function on an interval f, there is a sequence of polynomials that converges to f uniformly. So that the integration of $f^2$ is equal to 0. Since f is continuous, we conclude that f is 0. You can search on wiki https://en.m.wikiped...imation_theorem

#9 Nguyen Qui Hoan

Nguyen Qui Hoan

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Đã gửi 20-12-2015 - 09:32

ai làm câu 1 chưa



#10 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1792 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 20-12-2015 - 19:22

ai làm câu 1 chưa

 

 

Chắc người gõ đề nhầm ($\sqrt[4]{1-x}$ vs $x\to \infty$).
 

Câu 1. Tìm giới hạn $$\lim_{x\to \infty} x^{\frac{7}{4}}\left ( \sqrt[4]{1+x}+\sqrt[4]{1-x}-2\sqrt[4]{x} \right )$$

 

 


Đời người là một hành trình...


#11 happyfree

happyfree

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 123 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 01-01-2016 - 22:50

mọi người thảo luận câu 4 đi



#12 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1792 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 03-01-2016 - 00:27

mọi người thảo luận câu 4 đi

 

Xét $x\in [-1,1]$, đặt $x=\cos{t}$.

$f_n(x)=\cos{2^nt}$

Từ đó suy ra phương trình $f_n(x)=0$ có đúng $2^n$ nghiệm và các nghiệm này trong $[-1,1]$.


Đời người là một hành trình...





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh