Chủ đề này có 2 trả lời

[duaconcuachua98]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $4(x^{2}+y^{2}+z^{2})=5xy+5xz+4yz$

Tìm $\max P=\sqrt{\frac{x}{3y+3z}}+\sqrt{\frac{y}{2x+y}}+\sqrt{\frac{z}{2x+z}}$

[TMW]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $4(x^{2}+y^{2}+z^{2})=5xy+5xz+4yz$

Tìm $\max P=\sqrt{\frac{x}{3y+3z}}+\sqrt{\frac{y}{2x+y}}+\sqrt{\frac{z}{2x+z}}$

Xin nêu lên một cách khai thác giả thiết như sau:

Thoạt nhìn giả thiết đề cho, ta cảm thấy số 5 xuất hiện 2 lần, số 4 xuất hiện 1 lần và không thấy có nhiều đặc điểm nổi bật, xem tiếp đến dạng phát biểu của P thì thấy có một đặc điểm nổi lên là : y,z hoàn toàn bình đẳng với nhau và cô lập với x, điều này làm ta nghĩ tới việc ghép y,z lại với nhau.....

Bài giải có thể trình bày như sau:

Chú ý : $4(y^{2}+z^{2})-4yz \geq (y+z)^{2}$ nên từ giả thiết cho ngay : $4x^{2}-5x(y+z)+(y+z)^{2}\geq 0$ tới đây cho ta : $(x\geq y+z )(x\leq \frac{y+z}{4})$

Khai thác P ta nhận thấy phân thức đầu tiên $\sqrt{\frac{x}{3(y+z)}}$ đã được tách rõ hai phần {x} và {y+z} nên ta sẽ tiến hành đánh giá cơ bản để hai phân thức nằm ngay sau đó cũng đưa về được hai phần riêng biệt như phân thức đầu

Xét bổ đề : $\sqrt{\frac{y}{y+a}}+\sqrt{\frac{z}{z+a}}\leq 2\sqrt{\frac{y+z}{y+z+2a}}$ ( xin dành cho bạn đọc tự chứng minh) (a >0)

Áp dụng bổ đề : xem như 2x là a, khi đó

P$\leq \sqrt{\frac{x}{3y+3z}}+2\sqrt{\frac{y+z}{4x+y+z}}$

Đến đây hi vọng đặt t = x / (y+z) đưa P về 1 biến số bài toán thực hiện được ( P/s: hết time, mọi người thông cảm, có ai hăng hái đi tiếp nhé )

[duaconcuachua98]

Xin nêu lên một cách khai thác giả thiết như sau:

Thoạt nhìn giả thiết đề cho, ta cảm thấy số 5 xuất hiện 2 lần, số 4 xuất hiện 1 lần và không thấy có nhiều đặc điểm nổi bật, xem tiếp đến dạng phát biểu của P thì thấy có một đặc điểm nổi lên là : y,z hoàn toàn bình đẳng với nhau và cô lập với x, điều này làm ta nghĩ tới việc ghép y,z lại với nhau.....

Bài giải có thể trình bày như sau:

Chú ý : $4(y^{2}+z^{2})-4yz \geq (y+z)^{2}$ nên từ giả thiết cho ngay : $4x^{2}-5x(y+z)+(y+z)^{2}\geq 0$ tới đây cho ta : $(x\geq y+z )(x\leq \frac{y+z}{4})$

Khai thác P ta nhận thấy phân thức đầu tiên $\sqrt{\frac{x}{3(y+z)}}$ đã được tách rõ hai phần {x} và {y+z} nên ta sẽ tiến hành đánh giá cơ bản để hai phân thức nằm ngay sau đó cũng đưa về được hai phần riêng biệt như phân thức đầu

Xét bổ đề : $\sqrt{\frac{y}{y+a}}+\sqrt{\frac{z}{z+a}}\leq 2\sqrt{\frac{y+z}{y+z+2a}}$ ( xin dành cho bạn đọc tự chứng minh) (a >0)

Áp dụng bổ đề : xem như 2x là a, khi đó

P$\leq \sqrt{\frac{x}{3y+3z}}+2\sqrt{\frac{y+z}{4x+y+z}}$

Đến đây hi vọng đặt t = x / (y+z) đưa P về 1 biến số bài toán thực hiện được ( P/s: hết time, mọi người thông cảm, có ai hăng hái đi tiếp nhé )

P/S: Đã gửi bài thì giải hết nhé bạn! Mình cũng cùng ý tưởng với bạn, sau đây mình xin giải chi tiết.

 

Đặt $f(x,y,z)=\sqrt{\frac{x}{3y+3z}}+\sqrt{\frac{y}{2x+y}}+\sqrt{\frac{z}{2x+z}}$

Ta chứng minh $f(x,y,z)\leq f(x,t,t)$ với $t=\frac{y+z}{2}$

Xét $f(x,y,z)-f(x,t,t)=\sqrt{\frac{y}{2x+y}}+\sqrt{\frac{z}{2x+z}}-2\sqrt{\frac{t}{2x+t}}$

Ta cần chứng minh $\sqrt{\frac{y}{2x+y}}+\sqrt{\frac{z}{2x+z}}\leq 2\sqrt{\frac{y+z}{4x+y+z}}$

Ta chứng minh bổ đề $\sqrt{\frac{y}{y+a}}+\sqrt{\frac{z}{z+a}}\leq 2\sqrt{\frac{y+z}{2a+y+z}}$

Đặt $y+a=m,z+a=n\Rightarrow \sqrt{\frac{m-a}{m}}+\sqrt{\frac{n-a}{n}}\leq 2\sqrt{\frac{m+n-2a}{m+n}}\Leftrightarrow 2-\left ( \frac{a}{m}+\frac{a}{n} \right )+2\sqrt{\left ( 1-\frac{a}{m} \right )\left ( 1-\frac{a}{n} \right )}\leq 4-\frac{8a}{m+n}$

Mặt khác $-\left ( \frac{a}{m}+\frac{a}{n} \right )\leq -\frac{4a}{m+n}$

Bổ đề trở thành $2\sqrt{\left ( 1-\frac{a}{m} \right )\left ( 1-\frac{a}{n} \right )}\leq 2-\frac{4a}{m+n}$

Lại có $2\sqrt{\left ( 1-\frac{a}{m} \right )\left ( 1-\frac{a}{n} \right )}\leq 2-\left ( \frac{a}{m}+\frac{a}{n} \right )\leq 2-\frac{4a}{m+n}$

Bổ đề được chứng minh 

Sử dụng bổ đề với $a=2x\Rightarrow f(x,y,z)\leq f(x,t,t)=\sqrt{\frac{x}{6t}}+2\sqrt{\frac{t}{2x+t}}$

Đặt $\frac{x}{t}=k\Rightarrow f(x,t,t)=\sqrt{\frac{6}{k}}+2\sqrt{\frac{1}{2k+1}}=f(k)$

Từ giả thiết suy ra $4x^{2}-5x(y+z)+4y^{2}+4z^{2}-4yz=0\geq 4x^{2}-5x(y+z)+(y+z)^{2}\Leftrightarrow \frac{y+z}{4}\leq x\leq y+z\Leftrightarrow \frac{1}{4}\leq k\leq 1$

Khảo sát $f(k)$ trên $\left [ \frac{1}{4};1 \right ]\Rightarrow maxf(k)=f(\frac{1}{4})=\frac{\sqrt{3}+6\sqrt{2}}{6}$

Vậy $maxP=\frac{\sqrt{3}+6\sqrt{2}}{6}$. Đẳng thức xảy ra khi $y=z=2x$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duaconcuachua98: 10-02-2015 - 12:25