Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tổng hợp các định lý trong hình học và ứng dụng của chúng qua các bài toán


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 19 trả lời

#1 Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 08-02-2015 - 21:57

Lời nói đầu: Hiện nay các bài toán Hình học trong các kì thi Olympic ngày càng khó chịu hơn, nguyên nhân vì chúng được giải quyết qua các định lý mà ta chưa biết đến. Định lý cũng được xem như những bổ đề trong chứng minh. Việc có được càng nhiều kiến thức về các định lý giúp chúng ta có phần tự tin hơn, cũng như không quá bị động trong phòng thi. 

Vì vậy mình mở topic này tổng hợp một số định lý trong hình học, xem như công cụ cho các bạn muốn tìm hiểu thêm về vấn đề này (cũng giúp mình tự học thêm các định lý). Rất mong cả nhà ủng hộ

Cấu trúc bài đăng trong topic:

Định lý số [x]Chứng minh +Hình vẽ

Hơn nữa, để bạn đọc có thể hiểu sâu về định lý, sau mỗi định lý nên có thêm phần bài tập( 1,2 bài là ổn vì đăng nhiều sẽ rối). Bài tập sẽ được đánh sau định lý và sẽ được các bạn đọc giải ngay trên topic. Bài được ghi rõ: Bài số[x](số bài ghi theo thứ tự, không  ghi theo định lý)

Rất mong các bạn,anh, chị,thầy,cô ủng hộ mình và tuân thủ các nội dung trên (Không thì *quê*lắm ạ  :(  :(  :( )


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 08-02-2015 - 22:02

NgọaLong

#2 Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 08-02-2015 - 22:30

Làm phát đầu:

ĐỊNH LÝ 1 (ĐỊNH LÝ BROKARD)

Cho tứ giác lồi $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $AD$ giao $BC$ tại $M$, $AB$ giao $CD$ tại $N$, $AC$ giao $BD$ tại $I$. Khi đó $(O)$ là trực tâm của tam giác $MIN$

Chứng minh: Gọi $X,Y$ là tiếp điểm của $2$ tiếp tuyến kẻ từ $N$ của $(O)$

Gọi $P,Q$ thứ tự là giao của $XY$ với $AB,CD$

Ta có $(NPBA)=(NQCD)=-1$ suy ra $AD,PQ,BC$ đồng quy hay $PQ$ đi qua $M$ là giao của $AD$ và $BC$ (1)

Tương tự $(NPBA=(NQDC)=-1$ suy ra $AC,BD,PQ$ đồng quy hay $PQ$ đi qua $I$ là giao của $AC$ và $BD$ (2)

Từ $(1),(2)$ suy ra $M,X,P,Q,Y$ thẳng hàng

Mặt khác$XY$ vuông góc $ON$ nên $MI$ vuông góc $ON$

CMTT $NI$ vuông góc $OM$

Ta có đpcm

untitled.PNG

Bài tập 1: Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$. Đặt $I$ là giao của $AC$ và $BD$. Đường thẳng $d$ qua $I$ theo thứ tự cắt $AB,CD$ tại $M,N$ và cắt $(O)$ tại $P,Q$($M,N$ theo thứ tự thuộc đoạn $IQ,IP$) Chứng minh rằng: $\frac{1}{IM}+\frac{1}{IP}=\frac{1}{IN}+\frac{1}{IQ}$

(Hình như câu này gần giống câu Ấn Độ năm nay)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 08-02-2015 - 22:33

NgọaLong

#3 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 463 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 09-02-2015 - 04:47

 

ĐỊNH LÝ 1 (ĐỊNH LÝ BROKARD)

Cho tứ giác lồi $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$. $AD$ giao $BC$ tại $M$, $AB$ giao $CD$ tại $N$, $AC$ giao $BD$ tại $I$. Khi đó $(O)$ là trực tâm của tam giác $MIN$

 

xin nêu cách chứng minh có vẻ ngắn hơn của chủ thớt vậy

Capture.PNG

xét cực và đối cực với đường tròn $(O)$

ta có $MI$ là dường đối cực của $N$ do đó $ON \perp MI$

tương tự thì $OM\perp NI$

do đó $O$ là trực tâm $\Delta MIN$

 

một bài cũng sử dụng định lí brokard là VMO 2012


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 30-04-2015 - 17:24

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 


#4 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 463 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 09-02-2015 - 05:08

Bài tập 1: Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$. Đặt $I$ là giao của $AC$ và $BD$. Đường thẳng $d$ qua $I$ theo thứ tự cắt $AB,CD$ tại $M,N$ và cắt $(O)$ tại $P,Q$($M,N$ theo thứ tự thuộc đoạn $IQ,IP$) Chứng minh rằng: $\frac{1}{IM}+\frac{1}{IP}=\frac{1}{IN}+\frac{1}{IQ}$

(Hình như câu này gần giống câu Ấn Độ năm nay)

Capture.PNG

đặt $H=AD\cap BC,U=AB\cap CD,K=d\cap HU$

xét cực và đối cực đối với đường tròn $(O)$

ta có $K$ nằm trên đường đối cực của $I$ là $HU$ mà $KI$ cắt $(O)$ tại $P,Q$ do đó $(KIQP)=-1$

$\Rightarrow \frac{2}{\overline{IK}}=\frac{1}{\overline{IP}}+\frac{1}{\overline{IQ}} \ \ (1)$

gọi $T=AD\cap UI$

ta có $T$ nằm trên đường đối cực của $H$ là $UI$ mà $TH$ cắt $(O)$ tại $A,D$ do đó $(HTAD)=-1\Rightarrow U(HTAD)=-1\Rightarrow (KIMN)=-1$

$\Rightarrow \frac{2}{\overline{IK}}=\frac{1}{\overline{IM}}+\frac{1}{\overline{IN}} \ \ (2)$

từ $(1)$ và $(2)$ ta có $\frac{1}{\overline{IM}}+\frac{1}{\overline{IN}}=\frac{1}{\overline{IP}}+\frac{1}{\overline{IQ}}$

$\Rightarrow \frac{1}{IM}-\frac{1}{IN}=-\frac{1}{IP}+\frac{1}{IQ}\Rightarrow Q.E.D$

Spoiler


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 30-04-2015 - 17:25

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 


#5 chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt chuyên nguyễn du
  • Sở thích:đá banh, chém gió, đánh cờ

Đã gửi 09-02-2015 - 20:09

Lời nói đầu: Hiện nay các bài toán Hình học trong các kì thi Olympic ngày càng khó chịu hơn, nguyên nhân vì chúng được giải quyết qua các định lý mà ta chưa biết đến. Định lý cũng được xem như những bổ đề trong chứng minh. Việc có được càng nhiều kiến thức về các định lý giúp chúng ta có phần tự tin hơn, cũng như không quá bị động trong phòng thi. 

Vì vậy mình mở topic này tổng hợp một số định lý trong hình học, xem như công cụ cho các bạn muốn tìm hiểu thêm về vấn đề này (cũng giúp mình tự học thêm các định lý). Rất mong cả nhà ủng hộ

Cấu trúc bài đăng trong topic:

Định lý số [x]Chứng minh +Hình vẽ

Hơn nữa, để bạn đọc có thể hiểu sâu về định lý, sau mỗi định lý nên có thêm phần bài tập( 1,2 bài là ổn vì đăng nhiều sẽ rối). Bài tập sẽ được đánh sau định lý và sẽ được các bạn đọc giải ngay trên topic. Bài được ghi rõ: Bài số[x](số bài ghi theo thứ tự, không  ghi theo định lý)

Rất mong các bạn,anh, chị,thầy,cô ủng hộ mình và tuân thủ các nội dung trên (Không thì *quê*lắm ạ  :(  :(  :( )

spam tí

các điểm,đường thẳng đặc biệt được đăng không?

 

NTP


                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q


#6 Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 09-02-2015 - 20:20

Được chứ, các điểm đặc biệt đều được đề cập trong topic (Nhưng mà các điểm thường gặp trong thi cử thôi nhé)


NgọaLong

#7 Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 09-02-2015 - 21:08

Vẫn im ắng quá nhỉ???

Định lý 2: ĐỊNH LÝ LYNESS 

Nếu đường tròn $(O_1)$ tiếp xúc trong với đường tròn $(O)$ ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $T$ và tiếp xúc với $2$ cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $E,F$ thì tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ nằm trên $EF$. Chú ý rằng $(O_1)$ được gọi là đường tròn $Mitxilinear$ tại đỉnh $A$ của tam giác $ABC$

Chứng minh: Bài toán này mình đưa ra $2$ cách chứng minh. Và đều sử dụng $2$ bổ đề rất đơn giản sau đây

Bổ đề 1: $AB$ là một dây của $(O)$. Đường tròn $(I)$ tiếp xúc với dây $AB$ tại $K$ và tiếp xúc trong với $(O)$ tại $T$. $KT$ cắt $(O)$ tại điểm thứ $2$ $L$. Khi đó $LA=LB$ và $LA^2=LK.LT$

untitled.PNG

Bổ đề 2: Điểm $M$ là trung điểm của cung $BC$ không chứa $A$ của tam giác $ABC$. Điểm $I$ nằm trên đoạn $MA$. Ta kết luận $I$ là tâm nội tiếp tam giác $ABC$ khi và chỉ khi $MB=MC=MI$

untitled.PNG

Trở lại bài toán:

Cách 1: (Dùng định lý Pascal)

untitled.PNG

Đặt $TF,TE$ thứ tự giao với $(O)$ tại $M,N$. $BM,CN$ cắt nhau tại $I$

Sử dụng bổ đề $1$ suy ra $BM,CN$ là các đường phân giác của tam giác nên $I$ là tâm nội tiếp

Sử dụng định lý $Pascal$ cho bộ $6$ điểm $(ANBTCM)$ suy ra $E,F,I$ thẳng hàng,ta có đpcm

Vấn đề: Sử dụng định lý để chứng minh định lý thì....

Cách 2:untitled.PNG

$TF$ cắt $(O)$ tại $P$, $BP$ cắt $EF$ tại $H$

Kẻ tiếp tuyến chung ngoài tại $T$ là $Tx$ của $(O),(O_1)$, chú ý $Tx$ khác phái $B$ bờ $TP$

Ta có $\widehat{TBH}=\widehat{TEH}=\widehat{PTx}$ suy ra $BEHT$ nội tiếp

$=> \widehat{BET}=\widehat{BHT}=> \widehat{EFT}=\widehat{BHT}=>\widehat{PHT}=\widehat{HFP}=> \Delta HFP \sim \Delta THP=>HP^2=PF.PT$

Từ hai bổ đề suy ra $P$ là trung điểm cung $AC$, suy ra $PC^2=PF.PT$

suy ra $PH=PA=PC$ và từ bổ đề $2$ ta có đpcm

Phần này mình không đưa bài tập,chủ yếu là chuẩn bị cho $Thebault+Sawayana$ sau này  :(  :icon6: 

CON YÊU BA MẸ NHIỀU LẮM


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 09-02-2015 - 21:09

NgọaLong

#8 chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt chuyên nguyễn du
  • Sở thích:đá banh, chém gió, đánh cờ

Đã gửi 09-02-2015 - 21:40

Định lí 3:ĐỊNH LÍ CON BƯỚM

Dạng đường tròn:Cho đường tròn $(O)$ với dây cung $AB$ và $I$ là trung điểm $AB$.Qua $I$ vẽ hai dây cung $MN$ và $PQ$ sao cho $E=PM\cap AB,F=QN\cap AB$.CMR $I$ là trung điểm $EF$

Capture.PNG

gọi $C,D$ lần lượt là hình chiếu của $(O)$ trên $PM,NQ$

vì $\Delta PIM\sim \Delta NIQ\Rightarrow \Delta PIC\sim \Delta NID\Rightarrow \widehat{PCI}=\widehat{NDI}$

dễ thấy hai tứ giác $IECO,IFDO$ là các tứ giác nội tiếp $\Rightarrow \widehat{IOE}=\widehat{ICE}=\widehat{IDF}=\widehat{IDF}$

do đó $\Delta OEF$ cân tại $O$ do đó $IE=IF$ 

Capture.PNG

Dạng đường thẳng:Cho tam giác $ABC$, $I$ là trung điểm $BC$.Qua $I$ kẻ đường thẳng $d_1$ cắt $AC, AB$ lần lượt tại $M,N$ và đường thẳng $d_2$ qua $I$ cắt $CA, BA$ tại $P, Q$. Đường thẳng $PN$ cắt cạnh $BC$ tại $E$ và đường thẳng $QM$ cắt cạnh $BC$ tại $F$. CMR $I$ là trung điểm $EF$

xem câu $3.1$ ở đây

Bài tập 2:(Moldova TST 2010)

Cho tam giác $ABC$ nhọn có $H$ là trực tâm và $M$ là trung điểm $BC$.Kẻ đường thẳng qua $H$ vuông góc với $HM$ và cắt $AB,AC$ lần lượt tại $P,Q$.CMR $MP=MQ$

 

NTP


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 09-02-2015 - 21:43

                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q


#9 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 463 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 09-02-2015 - 22:19

Phần này mình không đưa bài tập,chủ yếu là chuẩn bị cho $Thebault+Sawayana$ sau này  :(  :icon6: 

CON YÊU BA MẸ NHIỀU LẮM

cho $sawazama$ thì hơi buồn rồi(mới thi TST năm ngoái)

về cái định lí của $lyness$ thì đường tròn đó có cái tên là $Mixtilinear$.Mọi người có thể xem vài tính chất của nó ở đây,và cái tài liệu thêm cho cái đường tròn này File gửi kèm  đường tròn mixtilinear.pdf   717.78K   1451 Số lần tải


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 30-04-2015 - 17:25

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 


#10 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 463 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 10-02-2015 - 18:45

Bài tập 2:(Moldova TST 2010)

Cho tam giác $ABC$ nhọn có $H$ là trực tâm và $M$ là trung điểm $BC$.Kẻ đường thẳng qua $H$ vuông góc với $HM$ và cắt $AB,AC$ lần lượt tại $P,Q$.CMR $MP=MQ$

 

NTP

mình không biết sử dụng định lí con bướm cho bài toán này nhưng có cách làm sau

Bài toán phụ:Cho $\Delta ABC$ với các đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$.Gọi $M$ là trung điểm $BC$ và $N=EF\cap BC$

CMR $NH\perp AM$

Capture.PNG

gọi $O,I$ lần lượt là trung điểm $AH,HM$

gọi $(\omega _1),(\omega _2)$ lần lượt là đường tròn $(O,\frac{AH}{2}),(I,\frac{HM}{2})$

vì $(NDBC)=-1$ và $M$ là trung điểm $BC$ nên $\overline{ND}.\overline{NM}=\overline{NB}.\overline{NC}=\overline{NE}.\overline{NF}$

do đó $N$ thuộc trục đẳng phương của $(\omega _1)$ với $(\omega _2)$

mà $H=(\omega _1)\cap (\omega _2)\Rightarrow NH\perp OI\Rightarrow NH\perp AM$

do đó có $Q.E.D$

Quay lại bài toán:

Capture.PNG

gọi $N=EF\cap BC$

ta có $(NDBC)=-1\Rightarrow A(NDBC)=-1$

theo bài toán phụ trên thì $NH\perp AM\Rightarrow HM\perp AN\Rightarrow AN|| PQ\Rightarrow HP=HQ$

do đó có $Q.E.D$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 30-04-2015 - 17:25

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 


#11 Trung Gauss

Trung Gauss

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết

Đã gửi 10-02-2015 - 19:17

 Định lý 4:

   ĐỊNH LÝ CASEY: Cho bốn đường tròn $C_i,\,i=\overline{1,4}$. Kí hiệu $t_{ij}$ là độ dài của tiếp tuyến hai đường tròn $C_i$ và $C_j$. Khi đó bốn đường tròn $C_i$ cùng tiếp xúc với một đường thẳng hoặc đường tròn $C$ khi và chỉ khi: $$t_{12}t_{34}\;^{+}_{-}t_{13}t_{42}\;^{+}_{-}t_{14}t_{23}=0$$
 
Chứng minh: 
   Bổ đề: Cho hai đường tròn $C_1 (O_1, r_1)$ và $(C_2()_2, r_2)$ cùng tiếp xúc với đường tròn $C(O, R)$ tại $A, B$ tương ứng. Khi đó độ dài tiếp tuyến chung trong hoặc ngoài của $C_1$ và $C_2$ xác định bởi: $$t_{12}=\dfrac{AB}{R}\sqrt{(R\;^+_-r_1)(R\;^+_- r_2)}$$
  

tyu.png

 

Chứng minh bổ đề: Ta chứng minh trong trường hợp $C_1$ và $C_2$ tiếp xúc trong với $C$. 

 Ta thấy: $$t_{12}^2=O_1O_2^2-(r_1-r_2)^2$$ Áp dụng định lý cosin, ta có: $$O_1O_2^2=OO_1^2+OO_2^2-2OO_1.OO_2\cos \angle O_1OO_2\\\\AB^2=2r^2(1-\cos \angle O_1OO_2$$ Từ đó thay vào trên ta dễ dàng suy ra: $$t_{12}=\dfrac{AB}{R}\sqrt{(R-r_1)(R- r_2)}$$ Tương tự khi $C_1, C_2$ tiếp xúc ngoài với $C$ thì $$t_{12}=\dfrac{AB}{R}\sqrt{(R+r_1)(R+ r_2)}$$

 

Quay lại bài toán: 

 

46198011.jpg

 

 

Ta kí hiệu $A, B, C, D$ theo thứ tự là tiếp điểm của $C_1, C_2, C_3, C_4$ với $C$, theo bổ đề trên ta có: $$t_{12}t_{34}+t_{14}t_{23}-t_{13}t_{24}=\dfrac{AB.CD+AD.BC-AC.BD}{R^2}.\sqrt{(R-r_1)(R-r_2)(R-r_3)(R-r_4)}$$ Ngoài ra theo định lý Ptolemy, ta có $AB.CD+AD.BC-AC.BD=0$ nên dễ dàng suy ra điều phải chứng minh.

 

 

Lưu ý: Ta chọn các dấu $"+"$ khi tiếp tuyến $t_{ij}$ và $t_{zk}$ không cắt nhau. Trong trường hợp hai tiếp tuyến này cắt nhau ta chọn dấu $''-''$. 

 

Bài toán 1: Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$. $P, Q$ là hai điểm bất kỳ trên $(O)$ và khác phía với $AB$. Kẻ $QT$ vuông góc với $AB$, $PC, PD$ lần lượt là tiếp tuyến kẻ từ $P$ tới đường tròn đường kính $AT, BT$. Chứng minh rằng: $PC+PD=PQ$

 

Bài toán 2: (IMO 2011) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $l$ là tiếp tuyến bất kỳ của $(O)$. Kí hiệu $l_a, l_b, l_c$ là đường thẳng đối xứng với $l$ qua $BC, CA, AB$ $l_a, l_b, l_c$ cắt nhau tạo thành tam giác $A'B'C'$. Chứng minh rằng đường tròn $(A'B'C') tiếp xúc với $(O)$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trung Gauss: 10-02-2015 - 19:59


#12 Bui Ba Anh

Bui Ba Anh

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 562 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 10-02-2015 - 19:21

Spoiler

Cách 2 Bài toán 2: Xét trường hợp $F$ thuộc cạnh, $E$ thuộc tia đối tia $BA$, trường hợp còn lại tương tự

Kẻ đường kính $AOD$, đặt các đường cao $BI,CN$ (cách kẻ đường phụ kinh điển THCS  :icon6: ). Dễ thấy  $HD$ đi qua $M$

 untitled.PNG

Ta có $BEDH$ và $HFCD$ nội tiếp, $BHCD$ là hình bình hành. Từ đó 

$\widehat{HED}=\widehat{HBD}=\widehat{HCD}=\widehat{HFD}$

Suy ra tam giác $DEF$ cân và ta có đpcm

CON YÊU BA MẸ NHIỀU LẮM


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 10-02-2015 - 19:29

NgọaLong

#13 chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt chuyên nguyễn du
  • Sở thích:đá banh, chém gió, đánh cờ

Đã gửi 11-02-2015 - 15:29

 

 

Bài toán 1: Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$. $P, Q$ là hai điểm bất kỳ trên $(O)$ và khác phía với $AB$. Kẻ $QT$ vuông góc với $AB$, $PC, PD$ lần lượt là tiếp tuyến kẻ từ $P$ tới đường tròn đường kính $AT, BT$. Chứng minh rằng: $PC+PD=PQ$

 

Bài toán 2: (IMO 2011) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $l$ là tiếp tuyến bất kỳ của $(O)$. Kí hiệu $l_a, l_b, l_c$ là đường thẳng đối xứng với $l$ qua $BC, CA, AB$ $l_a, l_b, l_c$ cắt nhau tạo thành tam giác $A'B'C'$. Chứng minh rằng đường tròn $(A'B'C') tiếp xúc với $(O)$

mong bạn ghi lại số bài cho phù hợp với nội dung ban đầu mà chủ topic đề ra

Bài tập 2:(Moldova TST 2010)

Cho tam giác $ABC$ nhọn có $H$ là trực tâm và $M$ là trung điểm $BC$.Kẻ đường thẳng qua $H$ vuông góc với $HM$ và cắt $AB,AC$ lần lượt tại $P,Q$.CMR $MP=MQ$

những lời giải ở trên mình thật sự ấn tượng và sau đây lời giải bằng cách sử dụng định lí con bướm

Capture.PNG

vẽ đường tròn $(M,\frac{BC}{2})$.Gọi $X,Y$ là giao điểm của $PQ$ với đường tròn $(M)$

vì $MH\perp XY\Rightarrow MX=MY$ nên theo định lí con bướm $MP=MQ$

 

 

NTP


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 11-02-2015 - 15:40

                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q


#14 chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt chuyên nguyễn du
  • Sở thích:đá banh, chém gió, đánh cờ

Đã gửi 11-02-2015 - 16:10

 

Bài toán 1: Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$. $P, Q$ là hai điểm bất kỳ trên $(O)$ và khác phía với $AB$. Kẻ $QT$ vuông góc với $AB$, $PC, PD$ lần lượt là tiếp tuyến kẻ từ $P$ tới đường tròn đường kính $AT, BT$. Chứng minh rằng: $PC+PD=PQ$

 

 

Capture.PNG

gọi $(\omega _1),(\omega _2)$ lần lượt là đường tròn đường kính $AT,BT$

áp dụng định lí $casey$ cho bốn đường tròn $(\omega _1),(\omega _2),(P,0),(Q,0)$ thì ta dễ dàng có được $PC+PD=PQ$

 

NTP


                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q


#15 chardhdmovies

chardhdmovies

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 638 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:thpt chuyên nguyễn du
  • Sở thích:đá banh, chém gió, đánh cờ

Đã gửi 11-02-2015 - 16:13

Bài toán 2: (IMO 2011) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $l$ là tiếp tuyến bất kỳ của $(O)$. Kí hiệu $l_a, l_b, l_c$ là đường thẳng đối xứng với $l$ qua $BC, CA, AB$ $l_a, l_b, l_c$ cắt nhau tạo thành tam giác $A'B'C'$. Chứng minh rằng đường tròn $(A'B'C')$ tiếp xúc với $(O)$

của thầy Nguyễn Văn Linh

Capture.PNG

Capture.PNG

 

NTP


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chardhdmovies: 11-02-2015 - 16:13

                                                                                    chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q


#16 gianglqd

gianglqd

    Trung úy

  • Thành viên
  • 894 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định - GF
  • Sở thích:Xem Gravity Falls, Mabel Pines and Waddles, Manchester United

Đã gửi 12-04-2015 - 20:21

Định lý 5: Định lý Poncelet

 

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) ngoại tiếp (I). Lấy một điểm D thuộc (O) và kẻ 2 tiếp tuyến DE, DF của (I). chứng minh rằng EF cũng là tiếp tuyến của (I)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Bui Ba Anh: 29-05-2015 - 14:48

Mabel Pines - Gravity Falls

 

 

                                                        

 


#17 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 463 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Nguyễn Du-Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 29-05-2015 - 10:19

Mọi người chứng minh giúp em định lý Poncelet

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) ngoại tiếp (I). Lấy một điểm D thuộc (O) và kẻ 2 tiếp tuyến DE, DF của (I). chứng minh rằng EF cũng là tiếp tuyến của (I)

anh xem tài liệu sau với hệ quả $2.2$

File gửi kèm  poncelet.pdf   173.92K   652 Số lần tải


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 


#18 gianglqd

gianglqd

    Trung úy

  • Thành viên
  • 894 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Bình Định - GF
  • Sở thích:Xem Gravity Falls, Mabel Pines and Waddles, Manchester United

Đã gửi 07-09-2015 - 20:17

anh xem tài liệu sau với hệ quả $2.2$

attachicon.gifponcelet.pdf

Mọi người giải thích giúp mình trong hình học phẳng chứ 3 đường cônic mình chả hiểu gì lại còn ngu tiếng Anh nữa


Mabel Pines - Gravity Falls

 

 

                                                        

 


#19 LonghsgsK50

LonghsgsK50

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Đã gửi 07-01-2016 - 14:55

Định lí 5 chỉ là 1 trường hợp nhỏ của định lí Poncelet thôi, tham khảo đầy đủ ở https://tranminhngoc...81-poncelet.pdf



#20 hienhienhien

hienhienhien

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 90 Bài viết

Đã gửi 20-02-2018 - 11:45

xin nêu cách chứng minh có vẻ ngắn hơn của chủ thớt vậy

attachicon.gifCapture.PNG

xét cực và đối cực với đường tròn $(O)$

ta có $MI$ là dường đối cực của $N$ do đó $ON \perp MI$

tương tự thì $OM\perp NI$

do đó $O$ là trực tâm $\Delta MIN$

 

một bài cũng sử dụng định lí brokard là VMO 2012

1 bai tap ung dung

cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB M là một điểm trên tia đối BA. một cát tuyến qua M cắt nửa đường tròn tại C,D sao cho MD<MC gọi K là giao điểm của (AOC) và (BOD).cmr MK vuong goc voi OK






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh