Chủ đề này có 5 trả lời

[nghia_metal]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh $\sum_{cyclic}\frac{a^2}{b+c}\geq \frac{3(a^3+b^3+c^3)}{2(a^2+b^2+c^2)}$

[nghia_metal]

Hỳ hục hơn cả tiếng đồng hồ!

[dogsteven]

Bất đẳng thức tương đương với: $\sum \left[\dfrac{2}{b+c}+\dfrac{1}{2(a+b)}+\dfrac{1}{2(a+c)}-\dfrac{2a+b+c}{a^2+b^2+c^2}\right](a-b)(a-c)\geqslant 0$

Dùng Cauchy-Schwarz chứng minh $x,y,z>0$ và dùng tiêu chuẩn 1.

[TMW]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh $\sum_{cyclic}\frac{a^2}{b+c}\geq \frac{3(a^3+b^3+c^3)}{2(a^2+b^2+c^2)}$

Xin đề xuất một hướng khai thác giả thiết khác như sau: Xét vế trái ta thấy các tử số đều ở dạng bậc 2, nên ta nhân cho bậc 4 để đưa về bậc 6 là bình phương của bậc 2, làm như vậy khi dùng cauchy - swarch sẽ rút gọn được biểu thức, và bên cạnh không làm "yếu nhiều" bất đẳng thức đầu bài

VT>=$\geq \frac{\left ( a^{3}+b^{3}+c^{3} \right )^{2}}{a^{4}(b+c)+b^{4}(c+a)+c^{4}(a+b)}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh rằng:

$2(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq 3\sum ab(a^{3}+b^{3})$ (1)

Bất đẳng thức (1) có thể chứng minh đơn giản chỉ bằng phép biến đổi tương đương, hoặc AM-GM

Nếu dùng S.O.S như bạn Nghia_metal như ở trên lời giải này sẽ rất đẹp chỉ là chú ý các Sa, Sb, Sc trong trường hợp này đều không âm ( theo bdt hoán vị ) (NDT)

[L Kira]

Xin đề xuất một hướng khai thác giả thiết khác như sau: Xét vế trái ta thấy các tử số đều ở dạng bậc 2, nên ta nhân cho bậc 4 để đưa về bậc 6 là bình phương của bậc 2, làm như vậy khi dùng cauchy - swarch sẽ rút gọn được biểu thức, và bên cạnh không làm "yếu nhiều" bất đẳng thức đầu bài

VT>=$\geq \frac{\left ( a^{3}+b^{3}+c^{3} \right )^{2}}{a^{4}(b+c)+b^{4}(c+a)+c^{4}(a+b)}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh rằng:

$2(a^{2}+b^{2}+c^{2})(a^{3}+b^{3}+c^{3})\geq 3\sum ab(a^{3}+b^{3})$ (1)

Bất đẳng thức (1) có thể chứng minh đơn giản chỉ bằng phép biến đổi tương đương, hoặc AM-GM

Nếu dùng S.O.S như bạn Nghia_metal như ở trên lời giải này sẽ rất đẹp chỉ là chú ý các Sa, Sb, Sc trong trường hợp này đều không âm ( theo bdt hoán vị ) (NDT)

Bđt (1) chứng minh sao vậy bạn

[nghia_metal]

Bđt (1) chứng minh sao vậy bạn